ULA

Rozepsáním do souřadnic

α1 + 2α2 = 5,

α2 = 2,

2α1 −

α2 = 0.

Odtud α1 = 1, α2 = 2.
Vektor (5, 2, 0) je lineární kombinací skupiny vektorů h(1, 0, 2), (2, 1, −1)i,
(5, 2, 0) = (1, 0, 2) + 2(2, 1, −1).

Příklad 1.4 Zjistěme, zda vektor (−1, 3) je lineární kombinací skupiny vek-
torů h(1, −2), (−2, 4)i.

Pokud vektor (−1, 3) je lineární kombinací zadané skupiny vektorů, musí
existovat reálná čísla α1, α2 taková, že platí

(−1, 3) = α1(1, −2) + α2(−2, 4).

Rozepsáním do souřadnic

α1 − 2α2 = −1,

−2α1 + 4α2 =

3.

Vydělme druhou rovnici soustavy číslem (−2)

α1 − 2α2 = −1,
α1 − 2α2 = −

3
2 .

Tato soustava lineárních rovnic nemá řešení. To znamená, že vektor (−1, 3)
není lineární kombinací skupiny vektorů h(1, −2), (−2, 4)i.

1.2

Lineární závislost a nezávislost

Zvolme v R

2 tři vektory (2, 3), (1, 0), (0, 1). Říkáme, že jsme v R2 zvolili

skupinu vektorů h(2, 3), (1, 0), (0, 1)i. Vektor (2, 3) můžeme napsat ve tvaru
(2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1).

4

Skutečnost, že alespoň jeden z vektorů skupiny je lineární kombinací zbývají-
cích vektorů skupiny popisujeme výrokem: Skupina vektorů h(1, 0), (0, 1), (2, 3)i
je lineárně závislá.

Naopak o skupině vektorů h(1, 0), (2, 3)i říkáme, že je lineárně nezávislá, ne-
boť žádný z vektorů skupiny není lineární kombinací zbylých vektorů skupiny.
(Ani jeden z vektorů skupiny není násobkem druhého.)

Zvolme v R

3 skupinu vektorů h(2, −1, 3), (2, −1, 0), (0, 0, 3)i. Jistě platí:

(2, −1, 3) = (2, −1, 0) + (0, 0, 3)
Skupina vektorů h(2, −1, 0), (0, 0, 3), (2, −1, 3)i je lineárně závislá, neboť např.
vektor (2, −1, 3) je lineární kombinací zbývajících vektorů skupiny (je jejich
součtem).
Skupina vektorů h(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)i je lineárně nezávislá, neboť žádný
z vektorů skupiny nelze zapsat ve tvaru lineární kombinace zbývajících vek-
torů skupiny.