ULA

n další vektory z téhož

prostoru R

n, dostaneme novou lineárně závislou skupinu vektorů.

3. Vypustíme-li ze skupiny lineárně nezávislých vektorů některé vektory, do-
staneme novou lineárně nezávislou skupinu.

1.3

Vektorový podprostor vektorového prostoru

Zvolme v aritmetickém vektorovém prostoru R

2 vektor (1, 0) a označme V

množinu všech jeho násobků, tedy

V =

k(1, 0) = (k, 0) ∈ R

2, k ∈ R  .

Jistě jsme si všimli, že vektor (a, b) patří do V právě když b = 0.
Jaké vlastnosti má množina V :
1. V je neprázdnou podmnožinou R

2.

2. V je uzavřená vůči operacím sčítání vektorů a násobení vektorů reálným
číslem (definovaným stejně jako v R

2) neboť

a) u = (u1, 0) ∈ V, v = (v1, 0) ∈ V ⇒ u + v = (u1 + v1, 0) ∈ V ,
b) u = (u1, 0) ∈ V, k ∈ R ⇒ ku = (ku1, 0) ∈ V .

Přitom operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem mají vlast-
nosti AI - AVIII.

Množinu V s vlastnostmi 1), 2) nazýváme vektorovým podprostorem pro-

storu R

2.

Definice 1.9 Neprázdnou podmnožinu V aritmetického vektorového prostoru

R

n nazveme podprostorem prostoru Rn, jestliže množina V je uzavřená vůči

operacím sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem.

7

Příklad 1.10 Ukažme, že množina V = {(k, l, k, l) ∈ R

4 : k ∈ R, l ∈ R} je

vektorový podprostor prostoru R

4.

Množina V je neprázdná podmnožina prostoru R

4, V je uzavřená vůči ope-

racím sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem. (Přitom početní
operace součet vektorů a součin čísla a vektoru je na V definován stejně jako
na R

4 a mají vlastnosti AI až AVIII), neboť platí:

a) Je-li (k1, l1, k1, l1) ∈ V ∧ (k2, l2, k2, l2) ∈ V , k1, k2, l1, l2 ∈ R, potom