ULA

n je bází pro-

storu R

n. Velmi nám pomůže následující věta.

Věta 1.13 Skupina n vektorů prostoru R

n je bází tohoto prostoru právě

tehdy, je-li to skupina lineárně nazávislá.

V každém R

n mohu najít libovolný počet bází. Každý Rn má jednu význam-

nou bázi, zvanou kanonická báze, což je skupina
h(1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)i.

Příklad 1.14 Zjistěme, zda skupina h(−1, 0, 3), (2, 1, 0), (−2, 1, 12)i je bází
vektorového prostoru R

3

Skupina by mohla být bází vektorového prostostoru R

3, neboť obsahuje právě

tři vektory tohoto prostoru. Bází bude tehdy, je-li lineárně nezávislá. Vyšet-
řeme tuto její vlastnost.
Užijme kritéria lineární závislosti:

α1(−1, 0, 3) + α2(2, 1, 0) + α3(−2, 1, 12) = (0, 0, 0)

a odtud

−α1 + 2α2 −

2α3 = 0,

α2 +

α3 = 0,

3α1

+ 12α3 = 0.

⇒

−α1 + 2α2 − 2α3 = 0,

α2 +

α3 = 0,

6α2 + 6α3 = 0.

Je vidět, že soustava rovnic pro neznámé α1, α2, α3 má kromě nulového ře-
šení i řešení nenulové, např. (α1, α2, α3) = (4, 1, −1). Tedy skupina vektorů
{(−1, 0, 3), (2, 1, ), (−2, 1, 12)i je skupinou lineárně závislých vektorů a není
tedy bází prostoru R

3.

Příklad 1.15 Ukažme, že skupina vektorů h(0, 2, 7), (0, 3, 2), (1, 3, 2)i je báze
vektorového prostoru R

3.

Aby skupina tří vektorů byla bází R

3, musí to být skupina lineárně nezávislá.

Vyšetřme tuto vlastnost. Užijme kritéria lineární závislosti:

α1(0, 2, 7) + α2(0, 3, 2) + α3(1, 3, 2) = (0, 0, 0)

9

a odtud

α3 = 0,

2α1 + 3α2 + 3α3 = 0,
7α1 + 2α2 + 2α3 = 0.

Tato soustava má jediné řešení (α1, α2, α3) = (0, 0, 0). Z toho plyne, že zadaná
skupina tří vektorů prostoru R