ULA

Definice 1.5 Řekneme, že skupina vektorů hu1, u2, . . . , uki, ui ∈ R

n, i =

1, . . . , k, je lineárně závislá, jestliže alespoň jeden z vektorů skupiny je lineární
kombinací zbývajících vektorů skupiny.

Řekneme, že skupina vektorů hu1, u2, . . . , uki, ui ∈ R

n, i = 1, . . . , k, je

lineárně nezávislá, jestliže žádný vektor skupiny není lineární kombinací zbý-
vajících vektorů skupiny.

Skupina vektorů h(1, 1), (2, 2)i je lineárně závislá, ((2, 2) = 2(1, 1)).
Skupina vektorů

(2, 1) , −1, −1

2

 je lineárně závislá, ((2, 1) = −2 −1, −1

2

 .)

Skupina vektorů h(0, 1), (1, 0)i je lineárně nezávislá, ((1, 0) 6= k(0, 1), ∀k ∈

R).
Skupina vektorů h(3, 2), (−3, 4)i je lineárně nezávislá, ((3, 2) 6= k(−3, 4),
∀k ∈ R, ∧ ((−3, 4) 6= l(3, 2), ∀l ∈ R).

Skupina vektorů h(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)i je lineárně nezávislá, neboť
(1, 0, 0) 6= α1(0, 1, 0) + β1(0, 0, 1) ∧ (0, 1, 0) 6= α2(1, 0, 0) + β2(0, 0, 1)∧
∧(0, 0, 1) 6= α3(1, 0, 0) + β3(0, 1, 0), ∀α1, α2, α3, β1, β2, β3 ∈ R.

Skupina vektorů h(1, 0, 0), (0, 2, 0), (3, 4, 1)i, je lineárně závislá,
((3, 4, 0) = 3(1, 0, 0) + 2(0, 2, 0)).

Užitím definice se lineární závislost, resp. lineární nezávislost skupiny

vektorů ověřuje obtížně. Snadnější práci budeme mít, užijeme-li následující
tvrzení:

5

Věta 1.6 Skupina vektorů hu1, u2, . . . , uki, ui ∈ R

n, i = 1, 2, . . . , k, je line-

árně nezávislá, lze-li vektorovou rovnici

α1u1 + α2u2 + · · · + αkuk = o, αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , k,

(13)

splnit právě tehdy, je-li α1 = α2 = · · · = αk = 0.