ULA

(k1, l1, k1, l1) + (k2, l2, k2, l2) = (k1 + k2, l1 + l2, k1 + k2, l1 + l2) = (k, l, k, l) ∈ V,

kde k = k1 + k2, l = l1 + l2 ∈ R.

b) Je-li (k, l, k, l) ∈ V , α ∈ R, potom

α(k, l, k, l) = (αk, αl, αk, αl) ∈ V.

Tedy V je podprostor prostoru R

4.

Definice 1.11 Množinu V , která obsahuje jediný vektor a to nulový vektor
prostoru R

n, nazýváme triviálním podprostorem prostoru Rn.

1.4

Báze aritmetického vektorového prostoru a vekto-
rového podprostoru

Vektorový prostor R

n, n ∈ N, obsahuje nekonečně mnoho vektorů. Každý z

nich lze vyjádřit ve tvaru lineární kombinace konečně mnoha (a to n) vektorů
tak zvané báze prostoru R

n. Z tohoto pohledu (a nejen z tohoto) je báze Rn

důležitou skupinou vektorů prostoru R

n.

B = h(1, 0), (0, 1)i - skupina B je báze vektorového prostoru R

2, (tzv. ka-

nonická báze). Skupina B má tyto dvě důležité vlastnosti:
a) je lineárně nezávislá,
b) každý vektor (a, b) ∈ R

2 je lineární kombinací vektorů skupiny B,

(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), a, b ∈ R.

B = h(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)i - skupina B je báze vektorového prostoru

R

3 (tzv. kanonická báze). Skupina B má tyto dvě důležité vlastnosti:

a) je lineárně nezávislá,
b) každý vektor (a, b, c) ∈ R

2 je lineární kombinací vektorů skupiny B,

(a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1), a, b, c ∈ R.

8

Definice 1.12 Skupinu B vektorů vektorového prostoru R

n, která má vlast-

nosti:
1. je lineárně nezávislá,
2. každý vektor u ∈ R

n je lineární kombinací vektorů této skupiny,

nazveme bází prostoru R

n.

Užitím definice se obtížně ověřuje, zda skupina vektorů z R