ULA

Existuje nemálo metod řešení inženýrských problémů, které převedou řešení

19

problému na řešení soustavy lineárních rovnic. Přitom tyto soustavy bývají i
značně rozsáhlé a hledání jejich řešení není jednoduché. Jistě uvítáme tvrzení,
pomocí něhož lze rozhodnout, zda soustava lineárních rovnic má či nemá
řešení. Toto důležité tvrzení je známo jako Frobeniova věta.

Věta 3.3 (Frobeniova) Soustava lineárních rovnic má alespoň jedno řešení
právě když matice soustavy a rozšířená matice soustavy mají stejnou hodnost.

Užitím hodnosti matice soustavy a rozšířené matice soustavy lineárních

algebraických rovnic lze zjistit nejenom zda soustava řešení má, ale i zda
řešení je jediné, či jich je nekonečně mnoho.

Věta 3.4 Mějme soustavu lineárních algebraických rovnic o n neznámých
takovou, že její matice soustavy a rozšířená matice soustavy mají stejnou
hodnost rovnu h. Potom platí:
1. Je-li n = h, soustava má právě jedno řešení.
2. Je-li n > h, soustava má nekonečně mnoho řešení.

Příklad 3.5 Určeme počet řešení soustavy 3x1 − x2 = 2,

x1 + x2 = 1.

n = 2,

A =

 3, −1

1,

1

∼

 3, −1

0, −4

,

h(A) = 2,

Ar =

 3, −1

1,

1

2
1

∼

 3, −1

0, −4

2

−1

,

h(Ar) = 2.

h(A) = h(Ar) = n ⇒ Soustava má právě jedno řešení.

Příklad 3.6 Určeme počet řešení soustavy x1 + x2 − x3 = 2,

x2 + x3 = 5.

n = 3

Ar =

 1, 1, −1

0, 1,

1

2
5

h(A) = 2,

h(Ar) = 2

h(A) = h(Ar) = 2 < 3 ⇒ Soustava má nekonečně mnoho řešení. Jak je najít
si ukážeme.

20

3.1

Gausova eliminační metoda

Gausova eliminační metoda je jednou z mnoha metod řešení soustavy lineár-
ních rovnic. Princip metody spočívá v tom, že k zadané soustavě sestrojíme
soustavu ekvivalentní, jejíž rozšířená matice soustavy je lichoběžníková. Ře-
šení takové soustavy lze najít poměrně bez obtíží, jak ukazuje následující
příklad.