ULA

x1 − x2 − x3 = 2,

x2 + x3 = 2.

Zde: n = 3, h(A) = h(Ar) = 2 ⇒
⇒ existuje nekonečně mnoho řešení

To je soustava dvou rovnic pro tři neznámé. Jednu neznámou zvolíme. Po-
ložme např. x3 = t, t je reálný parametr a vypočtěme x2 = 2 − t a x1 =
2 + t + (2 − t) = 4.
Řešením je tedy každý vektor (x1, x2, x3) = (4, 2 − t, t), t ∈ R.
Řešením zadané soustavy jsou právě všechny vektory (x1, x2, x3) = (4, 2 −
t, t), t ∈ R.

Příklad 3.10 Najděme všechna řešení soustavy

x1 + 2x2 + 3x3 = 4,

2x1 + 4x2 + 6x3 = 1.

22

Rozšířená matice soustavy je

 1, 2, 3

2, 4, 6

4
1

.

S ní ekvivalentní lichoběžníková matice

 1, 2, 3

0, 0, 0

4
7

.

h(A) = 1, h(Ar) = 2, h(A) 6= h(Ar).
Soustava rovnic

x1 + 2x2 + 3x3 = 4,

0 = 7,

nemá řešení. Řešení zadané soustavy neexistuje.

Příklad 3.11 Najděme všechna řešení soustavy 2x1 + x2 + 4x3 = 8,

x1 − x2 + 3x3 = 2,

3x1

+

x3 = 4.

Napíšeme rozšířenou matici soustavy:

2,

1, 4

1, −1, 3
3,

0, 1

8
2
4

.

Najdeme lichoběžníkovou matici, která je s naší maticí ekvivalentní:

2, 1,

4

0, 3, −2
0, 3, −8

8
4

−2

∼

2, 1,

4

0, 3, −2
0, 0,

6

8
4
6

.

Lichoběžníkové matici přiřadíme soustavu

2x1 +

x2 + 4x3 = 8,

3x2 − 2x3 = 4,

6x3 = 6.

Zde: n = 3, h(A) = h(Ar) = 3. Soustava má jediné řešení (x1, x2, x3) =
(1, 2, 1).
Zadaná soustava má jediné řešení (x1, x2, x3) = (1, 2, 1).

Zabývejme se nyní krátce homogenní soustavou lineárních rovnic, tedy

soustavou

a11x1 +

a12x2 + . . . +

a1nxn = 0,

a21x1 +

a22x2 + . . . +

a2nxn = 0,

..

.

..

.

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0,

(18)

23

kde xi jsou neznámé, aij, i = 1, . . . n, j = 1, . . . m, jsou známá reálná čísla.