ULA

Příklad 3.7 Řešme soustavu 3x1 −

x2 + 2x3 = −1,

2x2 +

x3 =

3,

x3 = −1.

Rozšířená matice soustavy

A =

3, −1, 2
0,

2, 1

0,

0, 1

−1

3

−1

je lichoběžníková matice. Řešení takovéto soustavy snadno vypočítáme.
x3 = −1,

x2 =

3 − x3

2

=

3 − (−1)

2

= 2,

x1 =

−1 + x2 − 2x3

3

=

−1 + 2 − 2(−1)

3

= 1.

Tedy (x1, x2, x3) = (1, 2, −1) je jediné řešení soustavy.

Definice 3.8 Dvě soustavy lineárních algebraických rovnic se nazývají ekvi-
valentní, jestliže mají tytéž neznámé a jestliže množina všech řešení jedné
soustavy je rovna množině všech řešení druhé soustavy.

Soustava rovnic

2x1 −

x2 = 3,

x1 + 3x2 = 5,

je ekvivalentní se soustavou rovnic

2x1 −

x2 =

3,

2x1 + 6x2 = 10.

Je však ekvivalentní i se soustavou

2x1 −

x2 =

3,

− 7x2 = −7,

21

a je ekvivalentní i se soustavou

2x1 − x2 = 3,

x2 = 1,

jejíž rozšířená matice soustavy je lichoběžníková.
Řešení této soustavy, které je jediné, snadno vypočítáme: (x1, x2) = (2, 1).
To je však též jediné řešení zadané soustavy.

Základní kroky Gaussovy eliminační metody jsou tyto:

1.KROK: Napíšeme rozšířenou matici zadané soustavy.
2.KROK: Tuto matici převedeme na lichoběžníkovou matici užitím ekviva-
lentních úprav matice.
3.KROK: K získané lichoběžníkové matici přiřadíme soustavu rovnic. Tato
soustava je ekvivalentní s původní soustavou. Najdeme všechna její řešení
(pokud existují), což jsou i všechna řešení výchozí soustavy.

Postup si ukážeme na příkladech.

Příklad 3.9 Najděme všechna řešení soustavy

x1 −

x2 −

x3 = 2,

2x1 − 3x2 − 3x3 = 2,

x1 − 2x2 − 2x3 = 0.

1.KROK + 2.KROK

1, −1, −1
2, −3, −3
1, −2, −2

2
2
0

∼

1, −1, −1
0, −1, −1
0, −1, −1

2

−2
−2

∼

 1, −1, −1

0,

1,

1

2
2

3.KROK