ULA
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
r,
x2 =
11
13
t +
11
13
r.
24
Všechna řešení zadané homogenní soustavy jsou všechny vektory
(x1, x2, x3, x4) =
10
13 t −
16
13 r,
11
13 t +
11
13 r, t, r
=
= t
10
13 ,
11
13 , 1, 0
+ r −16
13 ,
11
13 , 0, 1
,
t, r ∈ R.
Uvědomme si: Každý vektor (x1, x2, x3, x4) patřící do V jsme napsali ve tvaru
lineární kombinace skupiny vektorů
10
13 ,
11
13 , 1, 0
, −16
13 ,
11
13 , 0, 1
. V je tedy
lineárním obalem této skupiny vektorů
V = L
10
13
,
11
13
, 1, 0
,
−
16
13
,
11
13
, 0, 1
⇒ dim(V ) = 2.
Příklad 3.14 V závislosti na hodnotě reálného parametru a proveďme dis-
kusi počtu řešení soustavy
ax1 +
x2 +
x3 = 0,
x1 + ax2 +
x3 = 0,
x1 +
x2 + ax3 = 0.
Napíšeme matici soustavy a užitím ekvivalentních úprav sestrojíme matici s
maticí soustavy ekvivalentní.
A =
a, 1, 1
1, a, 1
1, 1, a
∼
1, 1, a
1, a, 1
a, 1, 1
∼
1, 1,
a
0, a − 1, 1 − a
0, 1 − a, 1 − a2
∼
∼
1, 1,
a
0, a − 1, 1 − a
0, 0,
(1 − a)(2 + a)
= B.
Je vidět, že:
a) pro a = 1, nebo a = −2 je hodnost matice soustavy menší nežli tři (při-
tom tři je počet neznámých). Tedy pro a = 1, nebo a = −2 má soustava
nekonečně mnoho řešení.
b) Je-li a 6= 1 a a 6= −2 je hodnost matice soustavy rovna 3, tedy počtu
neznámých. Soustava má pro a ∈ R − {1, −2} pouze triviální řešení.
4
Základní operace s maticemi
V tomto odstavci se setkáme s operacemi: součet matic, součin reálného čísla
a matice a součin matic.
25
2, 3
−1, 4
+
−5, 2
8, 7
=
2 − 5, 3 + 2
−1 + 8, 4 + 7
=
−3,
5
7, 11
−1, 2, 4
3, 5, 0
+
3, 5,
2
−4, 6, −8
=
−1 + 3, 2 + 5, 4 + 2
3 − 4, 5 + 6, 0 − 8