ULA
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
.
3. Gaussovou eliminací upravíme matici tak, aby nad hlavní diagonálou v
levé polovině matice byl nulový prvek
3,
0
0, −1
15, −21
2,
−3
.
4. Násobíme řádky takovými čísly, aby na hlavní diagonále byly jedničky
1, 0
0, 1
15
3 ,
− 21
3
−2,
3
=
1, 0
0, 1
5, −7
−2,
3
.
5. Napíšeme A−1 =
5, −7
−2,
3
.
O správnosti výpočtu se přesvědčíme vynásobením matic A a A−1
3, 7
2, 5
·
5, −7
−2,
3
=
1, 0
0, 1
.
Příklad 4.19 Vypočtěme Gaussovou metodou inverzní matici k matici
A =
3, −4,
5
2, −3,
1
3, −5, −1
.
32
Napíšeme matici
3, −4,
5
2, −3,
1
3, −5, −1
1, 0, 0
0, 1, 0
0, 0, 1
∼
Pomocí prvního řádku anulujeme prvky
prvního sloupce druhého a třetího řádku.
3, −4,
5
0,
1,
7
0, −1, −6
1,
0, 0
2, −3, 0
−1,
0, 1
∼
Pomocí druhého řádku anulujeme
prvek ve druhém sloupci třetího řádku.
3, −4, 5
0,
1, 7
0,
0, 1
1,
0, 0
2, −3, 0
1, −3, 1
∼
Pomocí třetího řádku anulujeme prvky
ve třetím sloupci prvního a druhého řádku.
3, −4, 0
0,
1, 0
0,
0, 1
−4,
15, −5
−5,
18, −7
1, −3,
1
∼
Pomocí druhého řádku anulujeme
prvek ve druhém sloupci prvního řádku.
3, 0, 0
0, 1, 0
0, 0, 1
−24,
87, −33
−5,
18,
−7
1, −3,
1
∼ Vynásobíme první řádek číslem 1
3 .
1, 0, 0
0, 1, 0
0, 0, 1
−8,
29, −11
−5,
18,
−7
1, −3,
1
.
A−1 =
−8,
29, −11
−5,
18,
−7
1, −3,
1
.
Věta 4.20 Jsou-li A, B regulární matice téhož typu, potom
a) matice AB je regulární matice a (AB)−1 = B−1A−1
b) A−1 je regulární matice a (A−1)
−1
= A
c) AT je regulární matice a AT
−1 = (A−1)
T
.
Příklad 4.21 Jsou dány regulární matice A =
3, 2
4, 3
, B =
2, 5
3, 8
.
Ověřme výpočtem platnost rovností (AB)−1 = B−1A−1, (A−1)
−1
= A,
AT
−1 = (A−1)
T
.
Vypočteme postupně
A−1:
3, 2
4, 3
1, 0
0, 1