ULA
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
5
1
,
matice neznámých X =
x1
x2
x3
.
Soustavu lze zapsat maticovou rovnicí
1, 1, −2
3, 1,
6
x1
x2
x3
=
5
1
,
symbolicky
A · X = B.
Zapišme maticově soustavu
x1 + 2x2 = 3
−2x1 − 5x2 = 4
a vypočtěme její řešení užitím inverzní matice k matici soustavy.
Maticový zápis
1,
2
−2, −5
x
1
x2
=
3
4
,
t.j.
A · X = B.
35
Jelikož matice soustavy A =
1,
2
−2, −5
je regulární matice, existuje
A−1 =
5,
2
−2, −1
.
Vynásobme maticovou rovnici A · X = B maticí A−1 zleva:
A
−1 · A · X = A−1 · B
⇒
E · X = A
−1 · B.
Tedy
X = A−1 · B,
x
1
x2
=
5,
2
−2, −1
3
4
,
x
1
x2
=
23
−10
.
Našli jsme matici X a tím i vektor řešení (které je jediné) zadané soustavy
lineárních rovnic (x1, x2) = (23, −10).
Obecně lze soustavu (17) m lineárních rovnic pro n neznámých x1, . . . , xn
a11x1 +
a12x2 + . . . +
a1nxn =
b1
a21x1 +
a22x2 + . . . +
a2nxn =
b2
..
.
..
.
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
napsat ve tvaru jediné maticové rovnice
a11,
a12, . . .
a1n
a21,
a22, . . .
a2n
..
.
am1, am2, . . . amn
x1
x2
..
.
xn
=
b1
b2
..
.
bm
tedy symbolicky ve tvaru
A · X = B,
kde A je matice soustavy typu (m, n), X je matice neznámých typu (n, 1),
B je matice typu (m, 1) sestavená z koeficientů pravých stran rovnic .
Tvrzení 4.22 Je-li matice soustavy A regulární, potom soustava lineárních
algebraických rovnic má (podle Frobeniovy věty) jediné řešení, tedy i maticová
rovnice A · X = B má jediné řešení a platí
X = A
−1 · B.
Známe-li matici X, známe i vektor řešení soustavy lineárních rovnic.
36
Příklad 4.23 Užitím inverzní matice řešme soustavu pro neznámé x, y, z,
je-li
x + 2y −
z =
1,
−2x + 3y +
z =
2,
2x +