ULA
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
D1 =
9, 1
7, 4
= 29,
D2 =
5, 9
1, 7
= 26.
Soustava má jediné řešení (x1, x2) =
29
19 ,
26
19
.
Zdůrazněme: Cramerova pravidla lze užít k nalezení řešení té soustavy
dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé, jejíž matice soustavy je regulární.
Cramerovo pravidlo lze užít též k nalezení řešení soustavy tří lineárních
rovnic pro tři neznámé s regulární maticí soustavy.
Věta 5.24 (Cramerovo pravidlo)
Mějme soustavu
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1,
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2,
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3,
(29)
takovou, že det A 6= 0, kde A je matice soustavy. Sestrojme matice
B1 =
b1 a12, a13
b2 a22, a23
b3 a32, a33
,
B2 =
a11, b1, a13
a21, b2, a23
a31, b3, a33
,
B3 =
a11, a12, b1
a21, a22, b2
a31, a32, b3
.
Potom existuje právě jedno řešení soustavy (29) a platí
x1 =
det B1
det A
,
x2 =
det B2
det A
,
x3 =
det B3
det A
.
Příklad 5.25 Užitím Cramerova pravidla řešme soustavu
2x1 − 4x2 + 3x3 = 1,
x1 − 2x2 +
x3 = 3,
3x1 −
x2 + 5x3 = 2.
52
Vypočtěme
D =
2, −4, 3
1, −2, 1
3, −1, 5
=
2, 0, 3
1, 0, 1
3, 5, 5
= (−1)55
2, 3
1, 1
= 5,
D1 =
1, −4, 3
3, −2, 1
2, −1, 5
=
−7,
0, −17
−1,
0,
−9
2, −1,
5
= (−1)5(−1)
−7, −17
−1,
−9
= 46,
D2 =
2, 1, 3
1, 3, 1
3, 2, 5
=
−1,
−8, 3
0,
0, 1
−2, −13, 5
= (−1)51
−1,
−8
−2, −13
= 3,
D3 =
2, −4, 1
1, −2, 3
3, −1, 2
=
−10, −4, −7
−5, −2, −1
0, −1,
0
= (−1)5(−1)
−10, −7
−5, −1
= −25.
Tedy
x1 =
D1
D
=
46
5
,
x2 =
D2
D
=
3
5
,
x3 =
D3
D
= −
25
5
.
Soustava má jediné řešení (x1, x2, x3) =
46
5 ,
3
5 , −5
.
5.4
Výpočet inverzní matice užitím determinantů
Matice A =
2, 7
1, 4
je regulární matice (det A = 1 6= 0). Napišme doplňky
všech jejích prvků:
a11 = 2 → D11 = (−1)
1+1 · 4 = 4,