ULA
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
a12 = 7 → D12 = (−1)
1+2 · 1 = −1,
a21 = 1 → D21 = (−1)
2+1 · 7 = −7,
a22 = 4 → D22 = (−1)
2+2 · 2 = 2.
Sestavme matici B tak, doplňky prvků 1.řádku matice A napíšeme do
1.sloupce matice B a doplňky prvků 2.řádku matice A napíšeme do 2. sloupce
matice B. Tedy
B =
4, −7
−1,
2
.
Matici B nazýváme adjungovanou maticí k matici A. Značíme B = Adj A.
53
Vypočítejme součiny A · B a B · A.
A · B =
2, 7
1, 4
4, −7
−1,
2
=
1, 0
0, 1
,
B · A =
4, −7
−1,
2
2, 7
1, 4
=
1, 0
0, 1
.
Jelikož A · B = B · A = E je B inverzní maticí k A, tedy B = A−1.
Zvolme jinou regulární matici, např. A =
3, 2
5, 4
, jejíž det A = 2 a
sestrojme Adj A:
D11 = (−1)
1+1 · 4 = 4,
D12 = (−1)
1+2 · 5 = −5,
D21 = (−1)
2+1 · 2 = −2,
D22 = (−1)
2+2 · 3 = 3,
je Adj A =
4, −2
−5,
3
.
Vypočítejme součin
A · Adj A =
3, 2
5, 4
4, −2
−5,
3
=
2, 0
0, 2
.
To znamená, že Adj A není v tomto případě rovna inverzní matici. Je vidět,
že A−1 =
1
2 Adj A. Není náhodou, že
1
2 =
1
det A .
Můžeme tedy psát v našem případě
A
−1 =
1
det A
· Adj A.
Tato rovnost platí obecně.
Definice 5.26 Mějme čtvercovou matici
A =
a11, a12, a13
a21, a22, a23
a31, a32, a33
a označme Dij doplněk prvku aij. Matici
D11, D21, D31
D12, D22, D32
D13, D13, D33
(30)
nazýváme adjungovanou maticí k matici A a značíme ji Adj A.
54
Věta 5.27 Je-li A regulární matice, potom
A
−1 =
1
det A
· Adj A.
(31)
Příklad 5.28 Zjistěme, zda A je regulární matice. Pokud ano, užitím ad-
jungované matice k matici A sestrojme A−1, když
A =
1,
2, 3
−1,
0, 3
−1, −2, 0