Vektorové prostory
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
a jejíž prvky jsou c
ij = aij + bij .
2.2
Vlastnosti operací s maticemi
Některé z uvedených vlastností budeme ilustrovat na následujících maticích.
A
=
−
1 2 −3
4 1
0
B
=
−
2
4 1
3 −1 1
4
2 3
C
=
4 3
−
2 4
1 2
.
Časem přibudou dvě kapitoly, ve kterých bude ukázána (dokázána) platnost uvedených
vlastností.
Sčítání
matic je komutativní a asociativní operace, tj. pro matice A, B, C stejného
typu platí:
A
+ B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
Platí distributivní zákony – jsou-li matice A, B stejného typu a matice C je takového
typu, že jsou definovány součiny AB, BC, (A+B)C (tj. matice C má stejný počet řádků
jako matice A, B sloupců), pak je
(A + B)C = AC + BC.
Za podobných předpokladů – zaručujících existenci příslušných operací – platí
A
(B + C) = AB + AC.
Násobení
matic je asociativní, tj. jsou-li matice A, B, C takového typu, že jsou
definovány příslušné součiny, platí
(AB)C = A(BC).
26
Pro výše uvedené matice je
D1
= AB =
−
4 −12 −8
−
5
15
5
,
(AB)C = D
1C
=
0 −76
−
45
55
,
D2
= BC =
−
15 12
15
7
15 26
,
A
(BC) = AD
2
=
0 −76
−
45
55
.
Násobení
matic není komutativní. Například pro výše uvedené matice A, B je
definován součin AB, ale nikoliv součin BA. Dále
AC
=
−
11 −1
14 16
,
zatímco
CA
=
8 11 −12
18
0
6
7
4
−
3
.
Jsou-li matice A, B takového typu, že je definován jejich součin AB, pak je definován
i součin BT AT (všimněte si opačného pořadí násobení) a platí (AB)T = BT AT . Pro výše
uvedené matice je
(AB)T = BT AT =
−
4 −5
−
12 15
−
8
5
.
Ke každé regulární matici A existuje inverzní matice.
Pro libovolnou matici A řádu m × n jsou součiny AAT , AT A definovány a jsou to
čtvercové symetrické matice řádu a m × n. Pro výše uvedenou matici A je