Vektorové prostory

p22

.

(1.14)

Dále pro vektor Bv = ( xy ) platí Cv =

q11x+q12y
q21x+q22y

(viz výše citovaný odkaz na vztah

(1.11) a speciálně pro vektory Ba

1

= (

p11

p21

), Ba

2

= (

p12

p22

) platí Ca

1

=

q11p11+q12p21
q21p11+q22p21

,

C a

2

=

q11p12+q12p22
q21p12+q22p22

.

19

Naším cílem je určit matici přechodu P A→C. Porovnáme-li (1.13) s (1.14), zjistíme, že ve
sloupcích matice přechodu od baze A k bazi B jsou souřadnice vektorů baze A vzhledem
k bazi B. Toto platí pro jakoukoliv dvojici bazí, a proto je

P A→C

=

 q11p11

+ q

12

p21 q11p12

+ q

12

p22

q21p11

+ q

22

p21 q21p12

+ q

22

p22

.

(1.15)

Všimněte si, že v i-tém řádku a j-tém sloupci je součet p

i1q1j + pi2q2j .

V případě prostoru dimenze n je v i-tém řádku a j-tém sloupci matice přechodu od baze
A

k bazi C součet p

i1q1j + pi2q2j + . . . + pinqnj , kde pij , případně qij jsou prvky i-tého

řádku a j-tého sloupce matice přechodu od baze A k bazi B, případně od baze B k bazi
C

.

Matici P A→C nazýváme součinem matic P B→C a P A→B, značíme P B→C = P B→CP A→B.
Na závěr uvedeme ještě několik příkladů, aby si čtenář mohl ověřit, že výše uvedenému
textu správně porozuměl. Všimněte si, že násobení dvou matic je analogické násobení
matice aritmetickým vektorem.

2 −3
5

1

  −

1 5
4 2

=

 −

14

4

−

1 27

 −

1 5
4 2

2 −3
5

1

=

23

8

18 −10

Všimněte si, že, v obecném případě, záleží na pořadí, v jakém matice násobíme.

2 −1 −4

−

4

2

8

1

4

2

3 −9 −5
2 −6

6

1 −3

3

=

0

0 −28

0

0

56

13 −39

25

Součin

 −

1 5
4 2

3 −9 −5
2 −6

6

1 −3

3

není definován.

1.12

Otočení a osová symetrie jako speciální příklady
změny baze

Na obrázku jsou znázorněny souřadnice bodu A vůči vzájemně pootočeným souřadným
systémům. Úhel pootočení je vyznačen modře a jeho velikost označíme ω.