Vektorové prostory

1.8

Změna souřadnic při změně baze, matice pře-
chodu

Na obrázku je znázorněna baze tvořená geometrickými vektory a

1

a2

.

Na dalším obrázku je přidána baze tvořená geometrickými vektory b

1

b2

přitom baze b

1

, b

2

je s bazí a

1

, a

2

svázána vztahy

b1

= 1.5a

1

+ 2a

2

b2

= a

1

−

0.5a

2

.

(1.6)

Naším úkolem je určit souřadnice vektoru v vzhledem k bazi A = {a

1

, a2}

, známe-li

souřadnice téhož vektoru v vzhledem k bazi B = {b

1

, b2}

a naopak – vyjádřit souřadnice

vektoru v vzhledem k bazi B = {b

1

, b2}

pomocí jeho souřadnic vzhledem k bazi

A

= {a

1

, a2}

. Připomeňme, že zápis Av = (

xa

ya

) znamená

v

= x

aa1 + yaa2,

(1.7)

a zápis Bv = ( xb

yb

) znamená

v

= x

bb1 + ybb2.

(1.8)

Dosadíme-li (1.6) do (1.8), dostaneme

v

= x

b(1.5a1 + 2a2) + yb(a1 − 0.5a2),

a po úpravě (roznásobení a následném vytknutí vektorů baze A)

v

= (1.5x

b + yb)a1 + (2yb − 0.5yb)a2.

(1.9)

Porovnáme-li (1.7) s (1.9) a uvědomíme-li si, že souřadnice vektoru vzhledem k bazi jsou
určeny jednoznačně, dostaneme hledané vztahy mezi souřadnicemi

xa = 1.5xb + yb,

ya = 2xb − 0.5yb.

(1.10)

13

Uvedené vztahy znázorníme graficky pro vektor Av = ( 0.8

−1.3 ).

Jak z obrázku, tak ze vztahů (1.10) můžeme určit Bv .= ( −0.33

1

.29 ).

Vztahy mezi souřadnicemi (1.10) můžeme stručněji zapsat ve formě matice přechodu

1.5

1

2 −0.5

.

V obecném případě (prostoru dimenze 2) je matice přechodu od baze B k bazi A
rovna

P B→A

=

 p11 p12

p21 p22

,

pokud pro aritmetické vektory souřadnic téhož vektoru v vzhledem k oběma bazím: Av =
(

xa

ya

), Bv = (

xb

yb

) platí

xa = p11xb + p12yb,

ya = p21xb + p22yb,

tj.

Av =

 p11xb + p12yb

p21xb + p22yb

.

(1.11)

V ještě obecnějším případě prostoru dimenze n je matice přechodu od baze A =
{a1, a2, . . . , an} k bazi B = {b1, b2, . . . , bn} rovna