Vektorové prostory

Uveďme jen, že nulovým vektorem je tzv. nulová funkce o : x 7→ 0 a opačným

vektorem k funkci f je funkce −f : x 7→ −f(x). Následující množiny funkcí podmínky c,
d splňují.

6. Prostor P

n polynomů stupně n-tého a menšího. Definičním oborem polynomů je

množina reálných čísel.

7. Speciálně prostor P

2

polynomů P : x 7→ ax2 + bx + c, kde a, b, c jsou reálné

parametry.

8. Pro zadaných n + 1 bodů nazývaných uzly: x

0

< x1 < · · · < xn množina funkcí

definovaných na intervalu hx

0

, xni a lineárních na intervalech hxi, xi+1i pro i =

0, 1, . . . , n − 1. Tyto funkce nazýváme po částech lineárními funkcemi.
Na obrázku je graf jedné po částech lineární funkce (pro n = 4).

x0 x1

x2

x3

x4

Na závěr ještě uvedeme množiny funkcí, které některou (případně obě) z podmínek c,

d nesplňují, a tedy spolu s výše zmíněnými operacemi netvoří vektorový prostor.

9. Množina všech kvadratických funkcí.

Na rozdíl od příkladu 7 neobsahuje polynomy nižšího stupně, tedy lineární funkce,
konstantní funkce a nulový polynom. Kromě podmínky a, nesplňuje např. podmínku
c, součet kvadratických funkcí f

1

(x) = 2x2 + 3x, f

2

(x) = −2x2 + 5 je lineární funkce

(f

1

+ f

2

)(x) = 3x + 5.

10. Množina všech rostoucích funkcí definovaných na množině reálných čísel.

Je-li f rostoucí funkcí, je funkce −f k ní opačná klesající funkcí – uvažovaná množina
tedy nesplňuje podmínku b.
Mimochodem, podmínku c uvažovaná množina splňuje – součet rostoucích funkcí je
rostoucí funkce.

9

Podmnožinu vektorového prostoru mající vlastnosti c a d nazveme podprostorem

daného vektorového prostoru.

1.6

Souřadnice vektoru, baze, aritmetické vektory

Mají-li dva geometrické vektory a, b různé směry, určují rovinu a jejich libovolná lineární
kombinace leží v této rovině. Ukážeme na příkladě, že platí i opak: libovolný vektor z dané
roviny je možné vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a, b.
Na obrázku jsou znázorněny vektory a, b, c.