Vektorové prostory

x

y

1

4. Množina vektorů s koncovým bodem ležícím na přímce p o rovnici 2x + 5y = 0 je

vektorovým prostorem.

Nechť koncové body vektorů A

1

= (x

1

, y1

), A

2

= (x

2

, y2

) leží na přímce p – tj. pro

jejich souřadnice platí 2x

1

+5y

1

= 0, 2x

2

+5y

2

= 0. Rozmyslete si, že platí vlastnosti

c, d, tedy, že i pro souřadnice vektorů αA

1

= (αx

1

, αy1

), (kde α je libovolné reálné

číslo), A

1

+A

2

= (x

1

+x

2

, y1

+y

2

) platí 2αx

1

+5αy

1

= 0 a 2(y

1

+y

2

)+5(x

1

+x

2

) = 0.

5. Zaměníme-li v předchozím příkladě přímku p za přímku q o rovnici 2x + 5y = 3

ne

dostaneme vektorový prostor.

Tato mno není vektorovým prostorem např. proto, že neobsahuje nulový vektor (2 ·
0 + 5 · 0 6= 3).

Dále při stejném značení jako v předchozím příkladě platí 2αx

1

+5αy

1

= 3α a 2(y

1

+

y2

) + 5(x

1

+ x

2

) = 6, a tedy například součet žádných dvou vektorů množiny q není

jejím prvkem.

S říklady podobnými příkladům 4 a 5 se později setkáme při řešení soustav lineárních

rovnic. Ukážeme, že řešení soustavy s nulovou pravou stranou (tzv. soustava homo-
genních

rovnic) tvoří vektorový prostor, zatímco řešení soustavy s nenulovou pravou

stranou (tzv. soustava nehomogenních rovnic) netvoří vektorový prostor.

8

Dalšími příklady vektorových prostorů, významných v technické praxi, jsou prostory

funkcí. Operace jsou definovány přirozeným způsobem. Pro funkce

f

: x 7→ f(x),

g

: x 7→ g(x)

je definován jejich součet f+g : x 7→ f(x)+g(x) a součin funkce f s číslem αf : x 7→ αf(x).

Mají-li všechny funkce uvažované množiny funkcí stejný definiční obor, jsou vlastnosti

1, 2 a 5 – 9 pro výše uvedené operace splněny. Aby uvažovaná neprázdná množina funkcí
byla vektorovým prostorem, je nutné a stačí, aby platily podmínky c, d.