Vektorové prostory

1

, y1

) + (x

2

, y2

) = (x

1

+ x

2

, y1

+ y

2

)

α

(x

1

, y1

) = (αx

1

, αy1

)

1. Množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel s výše zmíněnými operacemi

sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem je vektorovým prostorem.

Nulový vektor je 0 = (0, 0), vektorem opačným k vektoru (x

1

, x2

) je vektor

(−x

1

, −x2

). Splnění vlastností 1, 2, 5 – 9 z definice vektorového prostoru je přímým

důsledkem komutativity a asociativity sčítání a násobení reálných čísel a distribu-
tivního zákona.

Dalšími příklady vektorových prostorů jsou podmnožiny množiny uspořádaných dvo-

jic. Jak uvidíme v dalším, ne každá podmnožina je vektorovým prostorem. Protože na
těchto podmnožinách pracujeme se stejnými operacemi jako na celé množině, jsou vlast-
nosti 1, 2 a 5 – 9 automaticky splněny. Zbývá ukázat, že

a. v podmnožině leží nulový vektor,

b. podmnožina s každým vektorem obsahuje i vektor k němu opačný,

c. podmnožina s každými dvěma vektory obsahuje i jejich součet.

7

d. podmnožina s každým vektorem obsahuje všechny jeho násobky reálnými čísly.

Ve skutečnosti stačí ověřit splnění vlastností c, d. Je-li podmnožina neprázdná, obsa-

huje se svým vektorem a i vektor 0a (a ten je roven nulovému vektoru 0). Dále s každým
vektorem a obsahuje i vektor −1a, který je roven opačnému vektoru.

2. Množina geometrických vektorů v rovině jejichž koncové body leží (při umístění

vektoru do počátku) na kružnici o rovnici x2 + y2 = 1 není vektorovým prostorem.

Není vektorovým prostorem např. proto, že neobsahuje nulový vektor (02 + 02 6= 1).

3. Zaměníme-li v předchozím příkladě kružnici za kruh opět nedostaneme vektorový

prostor.

Na obrázku jsou uvedeny příklady vektorů ležících v uvažovaném kruhu, jejichž
součet v kruhu neleží.