Vektorové prostory

jednoznačně, znamená, že existují různé n-tice x

1

, x2, . . . , xn a y1, y2, . . . , yn splňující

v

= x

1a1

+ x

2a2

+ · · · + x

nan,

(1.1)

v

= y

1a1

+ y

2a2

+ · · · + y

nan.

(1.2)

Odečtením rovnic (1.1) a (1.2) dostaneme

0

= (x

1

− y1

)a

1

+ (x

2

− y2

)a

2

+ · · · + (x

n − yn)an

(1.3)

11

Označme z

1

= x

1

− yi pro i = 1, 2, . . . , n. Pak alespoň jedno ze zi je nenulové – připo-

meňme, že n-tice x

1

, x2, . . . , xn a y1, y2, . . . , yn jsou navzájem různé. Lineární kombinaci

z1a1

+ z

2a2

+ · · · + z

nan,

(1.4)

ve které jsou naopak všechna z

i nulová, nazýváme triviální lineární kombinací – asi

proto, že z vlastností 6 a 3 z definice vektorového prostoru „triviálněÿ plyne, že je rovna
nulovému vektoru. Lineární kombinaci (1.4), ve které je alespoň jedno ze z

i nenulové

nazýváme netriviální lineární kombinací. Z výše provedených úvah plyne, že vyjádření
(1.2) je jednoznačné, pokud pouze triviální lineární kombinace (1.4) je rovna nulovému
vektoru.

Vektory a

1

, a2, . . . , an nazýváme lineárně závislými, pokud existuje jejich netriviální

lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru. Pokud taková netriviální lineární
kombinace neexistuje, nazýváme vektory a

1

, a2, . . . , an lineárně nezávislými. V dalším

textu budeme lineární závislost případně nezávislost pro stručnost značit LZ, LN.

Rozeberme ještě jeden důsledek LZ vektorů. Pro jednodušší vysvětlení zvolme n = 5.

Stejné úvahy je možno provést i v obecném případě. Zopakujme, že vektory a

1

, a2, . . . , a5

jsou LZ, pokud existuje pětice x

1

, x2, . . . , x5

taková, že alespoň jedno x

i pro i = 1, 2, . . . , 5