Vektorové prostory

Chceme-li vektor c vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a, b, vedeme koncovým bo-
dem vektoru c rovnoběžky s vektory a, b.

Tím získáme vyjádření vektoru c jako součtu vektorů, které jsou násobky vektorů a a b.

Koeficienty, kterými je třeba vektory a, b vynásobit, zjistíme změřením velikosti vektorů;
znaménko určíme z orientace. V našem příkladě vyjde c = 0.67a − 0.42b, kde přesnost
koeficientů závisí na přesnosti s jakou změříme velikosti vektorů.

Výše uvedená vlastnost geometrických vektorů v rovině nám umožňuje místo s vektory

pracovat s uspořádanou dvojicí čísel – v případě vektoru c s dvojicí ( 0.67

−0.42 ). Tuto dvojici

čísel nazýváme souřadnicemi vektoru c vzhledem k bazi {a, b}.

Skupinu vektorů a

1

, a2, . . . , an, která umožňuje každý vektor v vyjádřit jednoznačně

jako lineární kombinaci vektorů a

1

, a2, . . . , an, nazveme bazí vektorového prostoru.

Číslo n – počet prvků baze – nazýváme dimenzí vektorového prostoru. Zde je pod-
statné, že dvě různé baze téhož vektorového prostoru mají stejný počet prvků – to je
důsledkem Steinitzovy věty, jejíž znění ani důkaz nebudeme uvádět.

Místo vektoru v = x

1a1

+x

2a2

+· · ·+x

nan můžeme pracovat s jeho souřadnicemi. Proto

zavedeme označení baze A = {a

1

, a2, . . . , an} a souřadnic vektoru vzhledem k bazi

Av

=

  x1

x2

...

xn

!

. Uspořádanou n-tici čísel

  x1

x2

...

xn

!

nazýváme aritmetickým vektorem dimenze n.

V předchozí kapitole jsme uváděli příklady vektorových prostorů – prostor polynomů

Pn a prostor po částech lineárních funkcí. Uvedeme příklady bazí v těchto prostorech.

Jednou z bazí prostoru P

2

jsou funkce e

0

: x 7→ 1, e

1

: x 7→ x, e