Vektorové prostory

2

: x 7→ x2. Souřadnice

vektoru (funkce) p : x 7→ ax2 + bx + c vzhledem k bazi E = {e

0

, e1, e2}

jsou Ep =

 c

b

a

.

10

Jednou z bazí prostoru po částech lineárních funkcí se čtyřmi uzly x

0

, x

1

, x

2

, x

3

jsou

funkce f

0

, f

1

, f

2

, f

3

dané grafy:

f0

:

1

x0

x1 x2

x3

f1

:

1

x0

x1 x2

x3

f2

:

1

x0

x1 x2

x3

f3

:

1

x0

x1 x2

x3

Po částech lineární funkce je jednoznačně zadána hodnotami v uzlech. Funkce f zadaná

tabulkou funkčních hodnot

x

x0

x1

x2

x3

f

(x)

y0

y1

y2

y3

má vzhledem k bazi F = {f

0

, f1, f2, f3}

souřadnice Ff =

y0

y1

y2

y3

.

Podobně jako ve výše uvedených příkladech můžeme v každém vektorovém prostoru,

ve kterém umíme najít bazi o n prvcích, místo s vektory pracovat s aritmetickými vektory
jejich souřadnic.

Všechny vektorové prostory dimenze 1 (2, 3) si můžeme představit jako body na

přímce, (v rovině, v prostoru). Pro prostory vyšší dimenze je geometrická představa ob-
tížnější.

Ještě obtížnější je (geometrická) představa vektorových prostorů nekonečné di-

menze

– to jsou prostory, které nemají bazi o konečném počtu prvků. Mezi prostory

nekonečné dimenze patří mnohé příklady prostorů funkcí.

1.7

Definice baze obvyklá v učebnicích, lineární
(ne)závislost vektorů

Pochopení úvah obsažených v této kapitole se možná bude zdát některým studentům
obtížné, nicméně jej považuji za příležitost ke tříbení myšlení a za jednu z podmínek
úspěšného absolvování předmětu. Dostanu-li z vaší strany konkrétní podnět, ve kterém
bodě je pro vás pochopení nejobtížnější, jsem ochotna na příslušném místě text doplnit.

Rozebereme podrobněji, co znamená slovo jednoznačně v definici pojmu baze. To,

že vektor v je možné vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a

1

, a2, . . . , an, ale nikoliv