Vektorové prostory
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
zových vektorů b
1
, b
2
. Před čarou jsou souřadnice vzhledem k bazi A a za čarou vzhledem
k bazi A – uvědomte si, že b
1
= 1b
1
+ 0b
2
a b
2
= 0b
1
+ 1b
2
.
b1
1.5
2
1 0
b2
1
−
0.5 0 1
Budeme doplňovat tabulku o další vektory, které získáme jako lineární kombinaci
předchozích řádků, s cílem získat vektory a
1
, a
2
– tedy stejnou tabulku jedniček a nul
před čarou jako máme na začátku za čarou. Nejdříve chceme získat vektor, jehož první
souřadnice vzhledem k bazi A je nula. Takovým vektorem je např. c = b
1
−
1.5b
2
.
b1
1.5
2
1
0
b2
1
−
0.5
0
1
c
0
2.75 1 −1.5
Nyní je třeba se, podle kontextu, rozhodnout, zda budeme počítat v desetinných číslech
a mezivýpočty zaokrouhlovat nebo přejdeme na počítání ve zlomcích. Dejme tomu, že jsme
se rozhodli počítat ve zlomcích. Předchozí tabulka pak je
16
b1
3/2
2
1
0
b2
1
−
1/2 0
1
c
0
11/4
1 −3/2
Dalším krokem je přidání vektoru d = 4/11c.
b1
3/2
2
1
0
b2
1
−
1/2
0
1
c
0
11/4
1
−
3/2
d
0
1
4/11 −6/11
Posledním krokem je přidání vektoru e = b
2
+ 1/2d.
b1
3/2
2
1
0
b2
1
−
1/2
0
1
c
0
11/4
1
−
3/2
d
0
1
4/11 −6/11
e
1
0
2/11
8/11
Vektory d, e jsou rovny bazovým vektorům a
1
, a
2
a tudíž hledaná matice přechodu
je
P A→B
=
2/11
4/11
8/11 −6/11
.
1.10.1
Ještě jeden příklad na Gauss-Jordanovu metodu
V prostoru dimenze 3 uvažujeme dvě baze A = {a
1
, a2, a3}
, B = {b
1
, b2, b3}
, jejichž
prvky jsou svázány vztahy
a1
= 2b
1
− b3,
a2
= 3b
1
−
2b
2
−
3b
3
,
a3
= −2b
1
+ 4b
2
,
a naším cílem je vypočítat prvky matice přechodu P B→A. Z předchozí kapitoly víme, že
sloupce hledané matice jsou souřadnice vektorů baze B vzhledem k bazi A a že je získáme
z tabulky
2
0 −1 1 0 0
3 −2 −3 0 1 0
−
2
4
0 0 0 1
eliminační metodou, při které vytváříme před čarou stejnou matici z nul a jedniček, jako
máme na začátku za čarou. Pro větší přehlednost naznačíme v prvním sloupci, jakou
lineární kombinací jsme příslušný řádek získali.