Vektorové prostory

x

y

x

y

A

Vztahy mezi souřadnicemi [x, y] a [x, y]
téhož bodu A jsou

x

= x cos ω + y sin ω,

y

= −x sin ω + y cos ω.

(V následující kapitole tyto vztahy od-
vodíme.)

20

Změníme-li orientaci osy y, a tedy i znaménko příslušné souřadnice, budou vztahy

mezi [x, y] a [x, y]

x

= x cos ω + y sin ω,

y

= x sin ω − y cos ω.

Červená souřadná soustava vznikne v tomto případě z černé osovou symetrií, jejíž osa je
zároveň osou modře vyznačeného úhlu.

x

y

x

y

A

V této kapitole mluvíme o bodech místo o vektorech a na zdůraznění tohoto rozdílu pí-

šeme souřadnice bodu do řádku a uzavíráme je do hranatých závorek. Ve skutečnosti místo
bodů můžeme pracovat s jejich polohovými vektory. Výběr soustavy souřadné (tj. výběr
os a volba jednotky na každé z nich) pak odpovídá výběru baze a souřadnice bodu jsou
pak totožné se souřadnicemi jejich polohového vektoru. Více v kapitole 1.13.

1.12.1

Odvození matice otočení

Cílem této kapitoly je odvodit vztahy

x

= x cos ω + y sin ω,

y

= −x sin ω + y cos ω,

uvedené v minulé kapitole. Nejdříve si uvědomíme, které další úhly mají velikost ω.

x

y

x

y

A

21

Souřadnice x je součtem velikostí čer-
vených úseček, ty jsou x cos ω a y sin ω,
a proto je x = x cos ω + y sin ω.

x

y

x

y

A

x

y

x

y

A

Souřadnice y (na obrázku znázorněna
čárkovaně) je rozdílem velikostí červe-
ných úseček, ty jsou y cos ω a x sin ω,
a proto je x = −x sin ω + y cos ω.

Poznámka: Ve výše uvedeném odvození byl zvolen bod A ležící v 1. kvadrantu v obou soustav

souřadných. Pro bod ležící v jiném(-ých) kvadrantech je třeba odvození modifikovat, vede však
ke stejnému výsledku.