Vektorové prostory
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
22
x2
+ · · · + p
2
nxn
...
pn1x1 + pn2x2 + · · · + pnnxn
Pro snažší zápis a úpravy složitějších výrazů se souřadnicemi vektorů vzhledem k různým
bazím zavádíme operaci součinu matice (zatím pouze čtvercové, pro obdélníkovou to bude
obdobné) a sloupcového aritmetického vektoru
p11 p12 · · ·
p1n
p21 p22 · · ·
p2n
...
... ... ...
pn1 pn2 · · · pnn
x1
x2
...
xn
=
p11x1
+ p
12
x2
+ · · · + p
1
nxn
p21x1
+ p
22
x2
+ · · · + p
2
nxn
...
pn1x1 + pn2x2 + · · · + pnnxn
15
Na závěr ještě vypočtěme několik příkladů
2 −3
0
−
6
1
5
−
4
6 −2
3
−
1
4
=
9
1
−
26
a b
c d
2
−
3
=
2a − 3b
2c − 3d
Součin
2 −3
0
−
6
1
5
−
4
6 −2
3
4
není definován.
1.10
Matice inverzní k matici přechodu a Gauss-
Jordanova metoda jejího výpočtu
V kapitole 1.8 jsme uvažovali dvě baze A = {a
1
, a2}
, B = {b
1
, b2}
svázané vztahy
b1
= 1.5a
1
+ 2a
2
b2
= a
1
−
0.5a
2
(1.12)
definovali (zavedli) matici přechodu P B→A = ( 1.5 1
2
−0.5 ) a uvedli jsme, že matice přechodu
je jen stručnějším vyjádřením vztahů mezi souřadnicemi vektoru v. Pokud je Bv = (
x
y
)
pak je Av =
1
.5x+y
2
x−0.5y
. Vztahy (1.12) můžeme zapsat: Ab
1
= ( 1.5
2 ),
Ab
2
= ( 1
−0.5 ). Všimněte
si, že ve sloupcích matice přechodu jsou souřadnice vektorů baze B (staré – pů-
vodní) vzhledem k bazi A (nové)
. Toto platí pro libovolnou dvojici bazí a příslušnou
matici přechodu.
Cílem této kapitoly je získání matice přechodu v opačném směru – tj. z matice P B→A
získat matici P A→B. Matici P A→B nazýváme inverzní maticí matice P B→A. V jejích
sloupcích jsou, dle výše uvedeného, souřadnice vektorů baze A vzhledem k bazi B.
Výpočet inverzní matice si ukážeme na příkladě. Sestavíme tabulku ze souřadnic ba-