Vektorové prostory

je nenulové a platí

0

= x

1a1

+ x

2a2

+ x

3a3

+ x

4a4

+ x

5a5

.

(1.5)

Nechť je například x

4

nenulové. Pak je možné z (1.3) vyjádřit a

4

převedením 4. členu

na druhou stranu rovnice a vydělením celé rovnice koeficientem x

4

a4

= −

x1
x4

a1

−

x2
x4

a2

−

x3
x4

a3

.

Vidíme, že ze skupiny LZ vektorů je možné alespoň jeden vektor (ve skutečnosti každý
s nenulovým koeficientem ve (1.5)) vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektorů
skupiny.
Platí i opak – je-li možné vyjádřit některý vektor – třeba a

1

– jako lineární kombinaci

ostatních

a1

= y

2a2

+ y

3a3

+ y

4a4

jsou vektory a

1

, a2, . . . , a5

LZ – to je vidět po úpravě

0

= −a

1

+ y

2a2

+ y

3a3

+ y

4a4

+ y

5a5

.

Tato lineární kombinace je jistě netriviální, protože koeficient u vektoru a

1

je roven −1,

a je tedy nenulový.

Shrňme poslední úvahy: skupina vektorů b

1

, b2, . . . , bn (záměrně jsem změnila značení,

abyste se na to původní nezafixovali) je LZ tehdy a jen tehdy, můžeme-li alespoň jeden
z vektorů skupiny vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektorů skupiny.

A jak se zpravidla definuje pojem baze v učebnicích lineární algebry? Zavede se ještě

pojem generátorů vektorového prostoru – množinu vektorů B = {b

1

, b2, . . . , bn} nazveme

množinou generátorů

vektorového prostoru, pokud můžeme každý vektor prostoru vy-

jádřit jako lineární kombinaci vektorů z množiny B. A baze vektorového prostoru se pak
definuje jako množina lineárně nezávislých generátorů prostoru.

12

V právě uvedené definici je jednoznačnost souřadnic vzhledem k bazi implicitně obsa-

žena. V tomto textu jsme zvolili jiný postup, neboť se domnívám, že je správné v definici
vypíchnout to, co je v ní podstatné a ne to schovávat do jiného pojmu. Nicméně je snad
z výše uvedených úvah jasné, že obě definice jsou ekvivalentní – tj. mají stejný obsah.