Vektorové prostory

Obě operace splňují distributivní zákony

8. Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor a platí

(α + β)a = αa + βa.

9. Pro každé číslo α a pro každou dvojici vektorů a, b platí

α

(a + b) = αa + αb.

5

1.4

Definice vektorového prostoru

Tento oddíl je určen převážně pro studenty se zájmem o hlubší pochopení. Nepatříte-li
k nim, čtěte pozorně pouze následující dva odstavce.

Libovolnou množinu, na které je definováno sčítání dvou prvků a násobení prvku reál-

ným číslem splňující vlastnosti 1 – 9 z předchozí kapitoly nazveme vektorovým prosto-
rem

a její prvky nazýváme vektory. (V aplikacích se někdy požaduje možnost násobení

komplexním číslem; my se v tomto textu vektorovými prostory nad komplexními čísly
zabývat nebudeme.)

Přitom požadujeme, aby jak výsledek součtu dvou vektorů, tak (číselný) násobek vek-

toru byly opět prvky daného vektorového prostoru.

Ve skutečnosti není třeba požadovat splnění všech devíti vlastností – některé z nich

jsou důsledkem ostatních.

Ukážeme, že vlastnost 6 plyne z vlastností 8, 5, 4, 1, 2 a 3.

Vyjdeme z platného vztahu

(1 + 0)a = 1a

a použijeme vlastnost 8

1a + 0a = 1a

dále použijeme vlastnost 5

a

+ 0a = a

přičteme k oběma stranám rovnice vektor opačný k vektoru a

(a + 0a) − a = a − a

levou stranu upravíme užitím vlastností 1, 2

0a + (a − a) = a − aa

použijeme vlastnost 4

0a + 0 = 0

a na závěr vlastnost 3

0a = 0

Odvodili jsme vlastnost 6 pro libovolný vektor a.

Nulový vektor 0 můžeme definovat pomocí vlastnosti 6, a pak můžeme vypustit vlast-

nosti 3 a 4 a ukázat, že plynou z vlastností 5, 6, 8.
Vlastnost 6 je třeba pro tyto potřeby přeformulovat na