Vektorové prostory

1.2.1

Sčítání geometrických vektorů

Na obrázku jsou znázorněny vektory a, b a na dalším obrázku je znázorněn jejich součet
c

= a + b.

3

1.2.2

Násobení geometrického vektoru číslem

Na dalším obrázku jsou znázorněny součiny b = 1.6a a c = −2.4a.

Od těchto dvou operací je odvozena tvorba lineární kombinace dvou nebo více

vektorů c = 1.3a + 0.7b.

1.3

Vlastnosti operací s geometrickými vektory

Operace součtu dvou geometrických vektorů má následující vlastnosti

1. Pro libovolné dva vektory a, b je

a

+ b = b + a.

2. Pro libovolné tři vektory a, b, c je

(a + b) + c = a + (b + c).

Na obrázku je žlutě znázorněna levá strana rovnosti, čárkovaně pravá.

4

Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji

a

+ b + c.

3. Existuje vektor, který nazýváme nulovým vektorem a označujeme 0, pro nějž

a pro libovolný vektor a platí

a

+ 0 = a.

Tuto vlastnost splňuje geometrický vektor o nulové délce, který jako jediný geome-
trický vektor nemá směr ani orientaci.

4. Ke každému vektoru a existuje vektor b, který splňuje

a

+ b = 0.

Tuto vlastnost pro nenulový geometrický vektor a splňuje vektor stejné velikosti
a směru jako vektor a, ale opačně orientovaný.

Pro nulový geometrický vektor a = 0 tuto vlastnost splňuje nulový vektor b = 0.

Vektor b nazýváme vektorem opačným k vektoru a a často ho označujeme −a.
Součet vektoru −a s vektorem c pak píšeme místo c + −a stručněji c − a.

Operace násobení geometrického vektoru číslem má vlastnosti

5. Pro každý vektor a platí

1a = a.

6. Pro každý vektor a platí

0a = 0.

7. Pro každou dvojici čísel α, β a pro každý vektor a platí

α

(βa) = (αβ)a.

Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβa.