Vektorové prostory

•

Existuje vektor 0 takový, že pro každý vektor a platí

0a = 0.

Protože platí:

a

= 1a = (1 + 0)a = 1a + 0a = a + 0a = a + 0,

6

je vektor 0 z vlastnosti 6 nulovým vektorem dle vlastnosti 3.

Dále platí

0

= 0a = (1 − 1)a = 1a + (−1)a = a + (−1)a,

a proto je vektor (−1)a opačným vektorem k vektoru a.

Výhoda výše uvedené axiomatické definice vektorového prostoru je v možnosti použití

vlastností odvozených z axiomů na libovolný prostor okamžitě po ukázání platnosti axiomů
(v případě vektorových prostorů hrají roli axiomů vlastnoti 1–5 spolu s 7–9 nebo vlastnosti
1–2 spolu s 5–9).

Historicky axiomatické definice vznikají vypozorováním paralel v různých strukturách

a pro studenty technických fakult bývají zpravidla obtížné pro svoji abstrakci. My v tomto
textu budeme proto současně rozvíjet teorii jak na různých příkladech, tak ve všeobecném
axiomatickém základu. Doufám, že alespoň někteří studenti během semestru nahlédnou,
že „prokousání seÿ axiomatickým přístupem je užitečné – jakmile se vám to podaří, stanou
se pro vás paralely z různých modelů (příkladů) vektorových prostorů samozřejmostí a co
nastudujete pro jeden model, budete moci okamžitě uplatnit pro model jiný.

1.5

Příklady vektorových prostorů

Uvedeme několik příkladů vektorových prostorů (ve smyslu definice vektorového prostoru
z minulé kapitoly). V textu jsou příklady prokládány množinami, které nejsou vektorovými
prostory a všechny jsou číslovány (1 – 9).

Místo geometrických vektorů (tj. orientovaných úseček) často pracujeme s jejich sou-

řadnicemi tj. s uspořádanými dvojicemi, případně trojicemi reálných čísel). Součet dvou
vektorů a číselný násobek vektoru je definován po složkách:

(x