9. Analýza homogenního vedení v harmonicky ustáleném stavu

9. Analýza homogenního vedení

• odvodit rovnice homogenního vedení v harmonicky ustáleném stavu

• definovat sekundární parametry vedení

• definovat ekvivalentní dvojbranový model vedení

• určit délku vlny a její fázovou rychlost

• definovat činitele odrazu

• přizpůsobit přenosovou cestu

• analyzovat a graficky zobrazit rovnice dlouhého vedení

1. Analýza dlouhého vedení v harmonicky ustáleném stavu

Analýza dlouhého vedení v harmonicky ustáleném stavu je důležitá k určení rozložení obvodových veličin podél vedení a k popisu jevů, které na vedení vznikají a neprojevují se v obvodech modelovaných soustředěnými parametry. Provádíme ji v komplexní rovině, do které transformujeme obvodové veličiny vedení závislé na čase t i prostorové souřadnici x, abychom zjednodušili řešení vlnových rovnic vedení odvozených v kapitole 8.1. V harmonicky ustáleném stavu časově prostorové závislosti napětí a proudu mají tyto parametry: prostorově závislou amplitudu napětí , proudu , fázi napětí , fázi proudu a úhlový kmitočet ω . Jsou popsány vztahy

a ,

které po transformaci do komplexní roviny mají tvar

.

Komplexor napětí a komplexor proudu se v komplexní rovině při daném úhlovém kmitočtu natočí v čase t o stejný úhel , takže časovou závislost obvodových veličin vedení lze z jejich popisu eliminovat a uvažovat jen jejich závislost na souřadnici x, reprezentovanou fázory napětí a proudu . Soustava parciálních diferenciálních rovnic vedení 1. řádu o dvou nezávislých proměnných t a x z kapitoly 8.1 tak přejde v komplexní rovině na soustavu obyčejných diferenciálních rovnic s nezávislou proměnou x

,

a vlnové rovnice přejdou do tvaru

,

.

Vlnové rovnice jsou navzájem duální. Obě zahrnují imitance podélné a příčné větve elementu vedení dané obvodovými schématy zakreslenými na obr. 8.4. Měrné parametry podélné větve vedení definují měrnou podélnou impedanci vedení (pozor, na pozici indexu není číslice 1, ale malé písmeno „l“), která má jednotku Ω/m. Měrné parametry příčné větve definují měrnou příčnou admitanci vedení , která má jednotkou S/m.

U obou vlnových rovnic vystupuje součin měrné podélné impedance a příčné admitance , který definuje první sekundární parametr vedení, činitel šíření , přesněji jeho kvadrát

.

Dosazením jednotek měrné podélné impedance a příčné admitance, snadno zjistíme, že činitel šíření má jednotku m-1. Jeho význam bude vyložen později.

Vlnové rovnice řešíme analogickým způsobem jako diferenciální rovnice popisující chování RLC obvodu v přechodném ději v kapitole 2.3, s tím rozdílem, že časovou závislost nahradíme závislostí na souřadnici x. Nejprve tedy nalezneme charakteristickou rovnici, která má stejný tvar jak pro vlnovou rovnici napětí, tak i proudu, a to