9. Analýza homogenního vedení v harmonicky ustáleném stavu

,

viz obr. 9.4. Pro element vedení v nové souřadnici s, po diferenciaci předchozího vztahu, platí , takže rovnice vedení v nově zavedené proměnné změní svůj tvar na

,

,

,

.

Následující odvození řešení vlnové rovnice v souřadnici s je analogické postupu, použitému při jejím řešení v souřadnici x. Charakteristická rovnice se nezmění a řešení vlnové rovnice napětí zapíšeme

.

Integrační konstanty stanovíme z výstupních okrajových podmínek

.

Řešením soustavy rovnic získáme neznámé integrační konstanty

a .

Po jejich dosazení do výchozích rovnic získáme vztahy popisující rozložení napětí a proudu podél vedení v souřadnici s

Z rovnic je patrné, že na vedení existují dvě vlny, vlna přímá, označená indexem p, která postupuje od počátku vedení směrem k jeho konci a vlna zpětná, označená indexem z, která postupuje od konce vedení směrem k jeho počátku. Výsledná vlna napětí je obecně složena z postupných vln, a to přímé vlny napětí a zpětné vlny napětí . Podobně výsledná vlna proudu je složena z přímé vlny proudu a zpětné vlny proudu . Situaci na vedení ilustruje obr. 9.4.

Analogicky jako v předchozím případě užitím definic hyperbolických funkcí lze odvodit rovnice vedení, které zapišme v maticovém tvaru

.

Obr. 9.4 Zavedení počítacích šipek vln napětí a proudu podél dlouhého vedení v souřadnici s: přímá vlna, zpětná vlna, výsledná vlna; blokové schéma zatíženého vedení v souřadnici s modelované kaskádními parametry dvojbranu

Z vlnových rovnic zapsaných v souřadnici s plyne, že zpětná složka vlny nebude existovat, platí-li

,

tedy je-li vedení na svém konci zatíženo impedancí o hodnotě vlnové impedance . Takovéto vedení nazýváme přizpůsobené. Na tomto vedení tedy existuje jen přímá vlna napětí a proudu a pro tyto vlny platí

,

.

Dáme-li vlnu napětí a proudu do poměru, získáme hodnotu impedance vedení v závislosti na souřadnici s

.

Přizpůsobené vedení má tedy pro přímou vlnu napětí a proudu v libovolném místě konstantní hodnotu impedance, která je právě rovna vlnové impedanci vedení. Vztah platí obecně, tedy i na počátku vedení, tj. v místě s = l, takže pro vstupní impedanci přizpůsobeného vedení platí. Poznamenejme, že ke stejnému závěru dospějeme, vyjdeme-li z vlnových rovnic zapsaných v souřadnici x. Pouze přímá vlna napětí a proudu na vedení v tomto případě bude existovat za podmínky

,

tedy, bude-li impedance v místě x = 0 m, tj. vstupní impedance vedení rovna vlnové impedanci.

Z rovnic vedení zapsaných v souřadnici x dále plyne, že zpětná vlna napětí a proudu může podle matematické interpretace řešení teoreticky existovat jen za podmínky . Na vedení v tomto případě nevznikne přímá vlna napětí a proudu. Pro zpětné vlny napětí a proudu pak platí

,

a pro jejich poměr

.

Vedení „přizpůsobené“ pro zpětnou vlnu napětí a proudu má tedy v libovolném místě x konstantní, zápornou hodnotu vlnové impedance.