9. Analýza homogenního vedení v harmonicky ustáleném stavu

Obr. 9.1 Zavedení počítacích šipek vln napětí a proudu podél dlouhého vedení v souřadnici x: přímá vlna, zpětná vlna, výsledná vlna

Jednoduchou úpravou a využitím definic hyperbolických funkcí získáme rovnice vedení ve tvaru

,

nebo v maticovém tvaru

.

Dosadíme-li do rovnic v hyperbolickém tvaru za x = l, získáme hodnoty napětí a proudu na konci vedení

,

nebo úpravou druhé rovnice

které v maticovém tvaru zapíšeme

nebo .

Vytvořili jsme tak model vedení, který tvarem zápisu odpovídá zpětně kaskádnímu modelu dvojbranu, viz kapitola 3.3. Dlouhé vedení jako celek (z pohledu jeho okrajů) lze modelovat souměrným, reciprokým dvojbranem, tedy obvodem se soustředěnými parametry. Blokové schéma vedení modelované zpětně kaskádními parametry dvojbranu je nakresleno na obr. 9.2.

Obr. 9.2 Blokové schéma vedení v souřadnici x, model zpětně kaskádního dvojbranu

Z rovnic vedení je patrné, že sekundární parametry vedení ,, někdy také nazývané provozní parametry vedení, jednoznačně charakterizují dlouhé homogenní vedení.

Ověřte, že vedení jako celek lze modelovat souměrným, reciprokým dvojbranem.

♦

Vyjděme nejprve ze zpětně kaskádního modelu vedení. Pro souměrný dvojbran, popsaný zpětně kaskádními parametry dvojbranu platí rovnost parametrů , což je u vedení splněno, neboť tyto parametry mají hodnotu a . Pro reciprocitní dvojbran platí, že jeho determinat je jednotkový, tedy . Dosadíme-li do této definice za hodnoty parametrů zpětně kaskádní matice vedení, dostaneme

,

takže vedení tuto podmínku splňuje a je reciprocitním dvojbranem.

Ke stejným závěrům dospějeme, použijeme-li častěji používaný, kaskádní model vedení, přepočet viz kapitola 3.3,

,

kde jsme dosadili za determinant zpětně kaskádní matice hodnotu jedna. Blokové schéma vedení modelované kaskádními parametry dvojbranu je na obr. 9.3.

Obr. 9.3 Blokové schéma vedení v souřadnici x, model kaskádního dvojbranu, příklad 9.1

Závěrem odstavce poznamenejme, bez odvození, že dlouhé vedení dané modelem na obr. 8.2 vpravo má propustné pásmo úhlových kmitočtů 0 < ω < 2/√L0C0 a chová se tedy jako dolní propust.

• Diskuze rovnic vedení

Pro vysvětlení významu rovnic dlouhého vedení v harmonicky ustáleném stavu, ale i pro analýzu většiny praktických úloh je výhodnější vyjít při určování integračních konstant řešení vlnových rovnic vedení ze známých výstupních okrajových podmínek tj. podmínek na konci vedení, tedy v místě x = l. Pro odvození hodnot integračních konstant vlnové rovnice ze známých výstupních obvodových veličin vedení je výhodné zavést nový souřadný systém s nezávislou souřadnicí s, který udává polohu místa na vedení vůči jeho konci. Je-li poloha místa na vedení vůči jeho počátku dána souřadnicí x, potom vztah mezi oběma souřadnicemi při délce vedení l udává rovnice