9. Analýza homogenního vedení v harmonicky ustáleném stavu

.

Ta udává rychlost pohybu místa konstantní fáze přímé (zpětné) vlny napětí a proudu podél vedení, podrobněji příklad 9.3. Poznamenejme, že vlnová délka vlnění λ je obecně definována nejkratší vzdáleností dvou míst na vedení se stejnou fází, viz obr. 9.7, kde zobrazeno rozložení hodnot a fáze přímé vlny napětí podél vedení v daném časovém okamžiku.

Obr. 9.7 Přímá vlna napětí na vedení, čas t = konst.: rozložení hodnot podél vedení, argument

Poznamenejme, že u přímé vlny napětí je fázová rychlost rovna rychlosti světla šířícího se v daném prostředí, takže při dané délce vedení l a kmitočtu f, můžeme podle délky vlny λ posoudit míru vlnových jevů na vedení. Je-li splněna podmínka , vlnové jevy se výrazně neprojeví a vedení lze modelovat jako elektrický obvod, tedy obvod se soustředěnými parametry.

Určete kaskádní parametry vedení, vlnovou délku a fázovou rychlost vlny, jsou-li známy primární parametry vedení R0 = 3,16 Ω/km, L0 = 1,85 mH/km, G0 = 0,5 μS/km, C0 = 6,4 nF/km. Kmitočet vedení je 800 Hz a jeho délka je 100 km.

♦

K určení kaskádních parametrů vedení potřebujeme nejprve znát sekundární parametry vedení, jež jsou definovány hodnotami podélné impedance

a příčné admitance.

Hodnotu činitele šíření vypočteme z definice

a vlnové impedance z definice

.

Činitel útlumu α určíme ze vztahu

a činitel fáze

.

Délku vlny určíme z definice

a její fázovou rychlost ze vztahu

.

Pro kaskádní matici dlouhého vedení platí

a pro hodnoty dílčích parametrů matice

Vypočtené hodnoty kaskádních parametrů matice jsou

.

Podmínku reciprocity kaskádního modelu pasivního dvojbranu , využijeme ke kontrole správnosti vypočtených hodnot kaskádních parametrů matice, kdy po dosazení získáme hodnotu

která se liší vlivem zaokrouhlování od hodnoty 1. Absolutní chyba řešení je .

K vyčíslení hodnot parametrů kaskádní matice jsme použili následující definice hyperbolických funkcí

,

.

• Grafické zobrazení vln na vedení

Vlnové rovnice graficky znázorňujeme v komplexní rovině hodografy s proměnným parametrem, kterým je vzdálenost místa na vedení od jednoho z jeho okrajů. Hodografy obecně reprezentují geometrická místa koncových bodů fázorů exponenciálně tlumené napěťové a proudové vlny a mají tvar spirál. Směr nárůstu parametru x je v grafech vyznačen šipkou. U přímé vlny se s rostoucí souřadnicí svinuje, u vlny zpětné se rozvinuje. Hodografy přímé a zpětné vlny napětí a proudu jsou zobrazeny na obr. 9.8 a 9.9. Výsledné vlny napětí a proudu získané superpozicí přímých a zpětných vln napětí a proudu z obr. 9.8 a 9.9 mají tvar deformovaných, svinujících se spirál a jsou zobrazeny na obr. 9.10.

Tak jako u obvodů s nastavitelnými parametry v kapitole 4.3 závislých na parametru p, je možné hodografy vln napětí a proudu odděleně vyjádřit závislostmi jejich modulů a fázi v závislosti na souřadnici x namísto parametru p. Pro velikosti přímých a zpětných vln vedení v souřadnici x platí