9. Analýza homogenního vedení v harmonicky ustáleném stavu

.

Bude-li místo x měnit svoji polohu v čase t, rovnici zapíšeme

,

po jejímž derivování získáme fázovou úhlovou rychlost

Obr. 9.11 Argument přímé vlny napětí v komplexní rovině, příklad 9.3

,

kde vf je fázová rychlost přímé vlny napětí.

V harmonicky ustáleném stavu se místo x v čase t pohybuje podél dlouhého vedení rovnoměrným pohybem konstantní rychlostí vf. Tomuto rovnoměrnému pohybu bodu po vedení odpovídá v komplexní rovině rovnoměrně otáčivý pohyb koncového bodu fázoru , který se pohybuje konstantní úhlovou rychlostí ωf v čase t, která je rovna úhlovému kmitočtu ω zdroje připojenému k vedení. Otáčivý pohyb v komplexní rovině popisujeme komplexorem , kterému odpovídá natočení v čase o úhel ωt. Zjednodušená situace je zachycena na obr. 9.12 vlevo pro polohu fázoru s počáteční fází . Místu vzdálenému od počátku o hodnotu x0 odpovídá v komplexní rovině její reálná osa a úhel . O stejný úhel se natočí fázor obíhající v komplexní rovině úhlovou rychlostí totožnou s hodnotou úhlového kmitočtu ω za čas t0, za který dorazí vlna do místa o souřadnici x0, viz na obr. 9.12 vpravo. Po odečtení druhé rovnice od první

platí

Obr. 9.12 Argument přímé vlny napětí v komplexní rovině: změna se souřadnicí x,změna v čase t, příklad 9.3

a tedy i

.

Stejným způsobem bychom postupovali i při odvození fázové rychlosti vf z rovnice fáze přímé vlny proudu , ale i při odvození fázové rychlosti zpětné vlny napětí a proudu, které mají stejnou hodnotu fázové rychlosti jako přímá vlna napětí a proudu, ale opačné znaménko.

Moduly a fáze vln napětí a proudu jsou nakresleny na obr. 9.13 a 9.14.

Obr. 9.13 Modul a fáze vln napětí podél vedení: přímá vlna, zpětná vlna, výsledná vlna

Z grafů modulů výsledných vln napětí a proudu v horní části obr. 9.13 a 9.14 je patrné, že na vedení existují místa, kde jsou velikosti napětí nebo proudů menší než na konci vedení nebo mají větší velikosti než na počátku vedení. Obecně superpozicí přímé a zpětné vlny napětí a proudu tak vznikají na dlouhém vedení místa, kde jsou napětí a proudy v jeho určitých místech menší než v místech vzdálenějších a dochází na něm k tzv. Ferrantiho jevu. Lokální maxima napětí a proudu podél vedení nastávají v místech kde je jejich fáze nulová, minima jsou od nich vzdálena o λ/4. Maxima/minima napětí jsou vzdáleny od maxim/minim proudu o λ/4. Zvlnění velikostí napětí a proudu je důsledkem „přelévání“ energie mezi λ/4 vlnnými úseky dlouhého vedení v čase. Při lokálním poklesu napětí přechází energie elektrické složky elektromagnetického pole vedení do složky magnetické, čímž dochází k lokálnímu nárůstu proudu vedení.

Obr. 9.14 Modul a fáze vln proudu podél vedení: přímá vlna, zpětná vlna, výsledná vlna

Časové závislosti vln na vedení v harmonicky ustáleném stavu získáme vynásobením fázorů vln na vedení komplexní funkcí a vyčleněním buď reálné nebo imaginární části příslušného komplexoru reprezentujícího vlnu na vedení. V případě vyčlenění imaginární části jsou okamžité hodnoty přímých, zpětných a výsledných vln napětí a proudů definovány