9. Analýza homogenního vedení v harmonicky ustáleném stavu

,

,

Obr. 9.8 Hodograf vlny napětí vedení: přímá, zpětná vlna

Obr. 9.9 Hodograf vlny proudu vedení: přímá, zpětná vlna

Obr. 9.10 Hodograf výsledné vlny vedení: napětí, proud

,

,

kde

, ,

, .

Pro fáze přímých a zpětných vln vedení v souřadnici x platí

,

,

,

,

kde

,

,

,

,

a

a ,

což jsou vstupní impedance a admitance vedení.

Než přistoupíme k vyjádření modulu a fáze výsledných vln proveďme následující úpravy rovnic vedení, založené na vytknutí přímé vlny napětí a proudu, což nám umožní definovat činitele odrazu těchto vln v libovolném místě vedení

,

.

Činitel odrazu napětí je definován poměrem zpětné a přímé vlny napětí

a činitel odrazu proudu poměrem zpětné a přímé vlny proudu

do kterých jsme dosadili sekundární parametry vedení.

K odrazům dochází na obou koncích (okrajích) vedení, tedy v místech x = 0 m a x = l. Podmínku odrazu vlny napětí a proudu na začátku vedení snadno odvodíme dosazením do definic činitelů odrazu v místě x = 0 m

ze kterých je zřejmé, že platí

.

Podmínky odrazu vlny napětí a proudu na konci vedení bychom snáze odvodili z činitelů odrazu definovaných v souřadnici s, kde souřadnici x = l odpovídá hodnota s = 0 m. Postup by byl analogický a získali bychom následující definice

a .

Z definic činitelů odrazů plyne, že k odrazům nedochází jedině u přizpůsobené přenosové cesty, kdy jsou tyto činitele nulové. Zdůrazněme tedy, nebude-li splněna rovnost a současně i , bude docházet k opakovaným odrazům vln na vedení na obou jeho okrajích.

Za účelem odvození výsledných funkcí vln napětí a proudu na vedení, určeme nejprve modul a fázi činitele odrazu zvětšeného o jedničku, tedy výrazu

Modul (velikost) tohoto členu je dán

a jeho fáze

.

Analogickým postupem bychom získali pro velikost a fázi činitel odrazu proudu

,

.

Po dosazení do rovnic vedení dostaneme

,

.

Výsledná vlna napětí má modul a fázi

.

Modul a fáze výsledné vlny proudu je pak

Na rozdíl od přímých a zpětných vln jsou výsledné velikosti a fáze vln složitou funkcí parametrů vedení a souřadnice x. Právě vlivem přítomnosti členů s goniometrickými funkcemi jsou výsledné průběhy zvlněné (deformované), takže grafy velikostí modulů v závislosti na souřadnici x nejsou popsány hladkou exponenciální funkcí a grafy fází lineární funkcí, což znamená, že změna fáze v čase, tedy fázová rychlost vlny vf není konstantní a rychlost postupu výsledné vlny je proměnná.

Dokažte, že fázová rychlost přímé vlny napětí je konstantní.

♦

Argument (fáze) přímé vlny napětí v závislosti na souřadnici x je lineární funkce daná rovnicí

.

Znaménka členů rovnice jsou určená vůči kladnému smyslu nárůstu argumentu fázoru v komplexní rovině, který je totožný se smyslem oběhu orientovaným proti směru chodu hodinových ručiček, tedy ve směru nárůstu souřadnice (–x) podle obr. 9.11 vlevo. Přímá vlna napětí ale postupuje od počátku ke konci vedení ve směru osy x, takže je výhodné změnit směr referenčního oběhu na opačný, který se pak shoduje se směrem nárůstu souřadnice x podle obr. 9.11 vpravo a odpovídá smyslu oběhu, orientovanému ve směru hodinových ručiček. Rovnice potom přejde do tvaru