9. Analýza homogenního vedení v harmonicky ustáleném stavu

Jak již víme, vedení z pohledu jeho vstupní a výstupní strany můžeme modelovat dvojbranem, který je souměrný a reciprocitní. Takovýto dvojbran charakterizují sekundární parametry dvojbranu: obrazová impedance a obrazový činitel útlumu , viz kapitola 7.2. Sekundárními parametry vedení jsou vlnová impedance a činitel šíření. Obě dvojice sekundárních parametrů jsou ekvivalentní a platí pro ně rovnosti

a .

Pro obrazově přizpůsobený dvojbran, ale i přizpůsobené vedení platí, že celá přenosová cesta na obr. 7.4 je impedančně přizpůsobená, tj. vstupní i výstupní impedance dvojbranu/vedení je rovna obrazové/vlnové impedanci, tj. , a to proto, že vnitřní impedance zdroje a zatěžovací impedance vedení jsou impedančně přizpůsobené, tj. platí .

Z výše uvedeného je zřejmé, že impedance v libovolném místě vedení je pro přímou a zpětnou vlnu napětí a proudu konstantní a je definována vlnovou impedancí vedení. Vlnová impedance vystupuje v rovnicích vedení v součinu a podílu s obvodovými veličinami vedení, proto je výhodné pro její zápis použít exponenciální tvar komplexního čísla

.

Pro její modul (velikost) a fázi platí

, .

Činitel šíření vystupuje v rovnicích vedení v argumentu exponenciální funkce. Z tohoto důvodu je ho účelné zapsat v podobě komplexního čísla ve složkovém tvaru

.

První složku α, nazýváme činitel útlumu nebo měrný útlum a druhou složku β činitel fáze nebo měrný posun. Obě složky mají samozřejmě stejnou jednotku jako činitel šíření, tedy m-1. Definice obou činitelů získáme následujícím postupem, když vyjdeme ze vztahu pro čtverec činitele šíření

.

Po provedení naznačených operací a úpravě získáme komplexní rovnici

.

Reálné hodnoty neznámých α a β získáme řešením soustavy dvou rovnic, které sestavíme ze složek komplexní rovnice, zvlášť zapsaných pro její reálnou a imaginární část. Soustava rovnic má tvar

,

.

Vyjádříme-li si z druhé rovnice činitel útlumu

a dosadíme-li ho do rovnice první dostaneme

,

dostaneme po úpravě bikvadratickou rovnici

,

ze které po substituci získáme rovnici kvadratickou

.

Diskriminant rovnice je

a její řešení má kořeny

.

Záporný kořen kvadratické i bikvadratické rovnice nemá fyzikální význam. Z tohoto důvodu má smysl uvažovat jen nezápornou hodnotu činitele fáze. Pro kladný kořen řešení bikvadratické rovnice platí

.

Dosazením činitele fáze do 1. rovnice pro reálnou část výchozí komplexní rovnice získáme rovnici

,

ze které odvodíme definici činitele útlumu

.

Z definic je zřejmé, že oba činitele jsou složitou funkcí kmitočtu a primárních parametrů vedení.

Hodnotu činitele útlumu můžeme určit i jiným způsobem, z rovnic přizpůsobeného vedení popsaného rovnicemi v souřadnici x

,

,

známe-li hodnoty napětí nebo proudu na počátku vedení , a v jednotkové vzdálenosti od jeho počátku tj. v místě x = 1 m, platí pro moduly napětí a proudu