9. Analýza homogenního vedení v harmonicky ustáleném stavu

.

Ta má dva komplexní kořeny

.

Další postup řešení vlnové rovnice si ukažme na případu vlnové rovnice napětí, které má tvar

,

kde a jsou integrační konstanty, které závisí na známých okrajových podmínkách vedení. Jelikož v řešení vystupují dvě neznámé hodnoty konstanty, potřebujeme k jejich určení další rovnici. Tou je diferenciální rovnice 1. řádu pro napětí, do které dosadíme řešení vlnové rovnice

.

Jejím derivování získáme současně i řešení rozložení proudu podél vedení, protože po jednoduché úpravě platí

kde odmocnina podílu měrné podélné impedance a příčné admitance definuje tzv. vlnovou nebo charakteristickou impedanci vedení

,

která je druhým sekundárním parametrem vedení. Je to ekvivalentní hodnota impedance, která jak uvidíme, udává hodnotu impedance nekonečně dlouhého či přizpůsobeného vedení v jeho libovolném místě.

Poznamenejme, že v teorii elektromagnetického pole vlnová impedance představuje zdánlivý odpor, který klade okolní prostředí elektromagnetickému vlnění šířícímu se podél dlouhého vedení. V teorii obvodů elektrickou složku pole vedení modeluje vlna napětí, charakterizovaná primárními parametry vedení G0, C0 a v harmonicky ustáleném stavu pak i měrná příčná admitance vedení . Magnetickou složku pole vedení potom vlna proudu, charakterizovaná primární parametry R0, L0 a tedy i měrná podélná impedance vedení . V teorii obvodů používáme k modelování parametry obvodu soustředěné do jednoho bodu a nezajímají nás geometrické a materiálové parametry samotného vedení a jeho okolí. Tyto závislosti jsou předmětem zkoumání teorie elektromagnetického pole.

Okrajové podmínky na vedení tj. hodnoty napětí a proudu na začátku nebo konci vedení je nutné znát, kvůli určení integračních konstant řešení vlnové rovnice vedení. Vyjdeme-li při stanovení integračních konstant ze vstupních okrajových podmínek tj. podmínek na počátku vedení, tedy v místě x = 0 m, dostaneme po dosazení za hodnotu prostorové souřadnice soustavu rovnic

,

.

Jejím vyřešením, např. Cramerovým pravidlem, získáme integrační konstanty

a ,

kde a jsou známé hodnoty napětí a proudu na počátku vedení.

Po jejich dosazení do výchozích rovnic získáme rovnice popisující rozložení napětí a proudu podél vedení

,

,

ze kterých je patrné, že na vedení existují dvě vlny, vlna přímá, označená indexem p, která postupuje od počátku vedení směrem k jeho konci a vlna zpětná, označená indexem z, která postupuje od konce vedení směrem k jeho počátku. Výsledná vlna napětí je obecně složena z postupných vln, a to přímé vlny napětí a zpětné vlny napětí . Podobně výsledná vlna proudu je složena z přímé vlny proudu a zpětné vlny proudu . Situaci na vedení délky l ilustruje obr. 9.1 a model přenosové cesty na obr. 7.4, kde kaskádnímu modelu dvojbranu odpovídají ekvivalentní kaskádní parametry vedení, viz dále.