M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

u. (Při

skutečné zkoušce by samozřejmě chyběly informace o výsledcích.)

Příklad 6.1: Vypočítejte výšku jehlanu

ABCV , jsou-li jeho vrcholy A =

[3

; 5; 3], B = [ 2; 11; 5], C = [1; 1; 4], V = [0; 6; 4].

Výsledek: Výška je rovna 3.

Příklad 6.2: Na ose

x najděte bod P stejně vzdálený od rovin

 : 16:x 12:y + 15:z + 1 = 0;  : 2:x + 2:y z 1 = 0 :

Výsledek: Úloha má dvě řešení

P1 = [14; 0; 0], P2 = [11=49; 0; 0]:

Příklad 6.3: Vyšetřete vzájemnou polohu dvou přímek

p; q, je-li přímka p

zadána jako pr˚

usečnice dvou rovin 3

:x + 2:y z + 1 = 0, 4x + y 3:z + 3 = 0 a

přímka

q parametricky rovnicemi x = 1+2:t, y = 2+2:t, z = 1 t, t 2 R. Jde-li

o rovnoběžky, určete jejich vzdálenost, jde-li o r˚

uznoběžky, určete jejich pr˚

usečík

a úhel, jsou-li zadané přímky mimoběžné, stanovte úhel a nejkratší vzdálenost
mezi nimi.

Výsledek: Přímky

p; q jsou mimoběžné, jejich vzdálenost je rovna 36=

p

785,

svírají úhel

' := 80.

Příklad 6.4: Jsou dány body

A = [1; 1; 1], B = [2; 0; 3], C = [3; 1; 4], P =

[1

; 3; 4] a přímka p jako pr˚usečnice dvou rovin 3:x y+z 1 = 0; x+y+z 7 = 0:

Určete

a) obecný tvar rovnice roviny

 procházející body A; B; C,

b) bod

P0 souměrně sdružený k bodu P vzhledem k rovině ,

c) obecný tvar rovnice roviny

, která prochází přímkou p a bodem P .

Výsledek: Obecná rovnice roviny

 je tvaru 3:x + y

2

:z = 0, hledaný bod

P0 = [ 5; 1; 0], rovina  má obecnou rovnici 8:x 6:y + z + 14 = 0. (Rovinu 
m˚

užeme najít bud’ užitím svazku rovin 3

:x y + z

1 = 0,

x + y + z

7 = 0

nebo přímým výpočtem.)