M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

Příklad 5.21: Určete bod souměrně sdružený s bodem

P = [4; 3; 10] podle

přímky

x 1

2

=

y 2

4

=

z 3

5

:

Výsledek: Hledaným bodem je

Q = [2; 9; 6].

Příklad 5.22: Bodem

A = [1; 7; 9] ved’te kolmici k přímce 2:x+y z +3 = 0,

x y + 4:z = 0 tak, aby svírala s rovinou, jejíž obecná rovnice je x y = 0, úhel

=6.

Výsledek: Takové přímky jsou dvě – první z nich má parametrické rovnice

x = 1 + t ; y = 7 ; z = 9 + t ; t 2 R ;

druhá parametrické rovnice

x = 1 + 4:s ; y = 7 + s ; z = 9 + s ; s 2 R :

5. Úlohy o rovinách a přímkách

48

Příklad 5.23: Určete úhel dvou rovin

 : 3:x 1:y + 2z + 15 = 0;

 : 5:x + 9:y 3:z 1 = 0.

Výsledek: Roviny

;  jsou kolmé.

Příklad 5.24: Na přímce

q : x = 1 + t; y = 1 2:t; z = 3:t najděte bod

Q tak, aby vzdálenost tohoto bodu od roviny  byla rovna

p

6, kde rovina

 : 2:x + y z + 2 = 0.

Výsledek: Existují dvě řešení,

Q1 = [2; 3; 3]; Q2 = [ 2; 5; 9].

Příklad 5.25: Určete úhel dané přímky

p a roviny , je-li přímka p zadána

jako průsečnice rovin 3

:x y 1 = 0; 3:x+2:z 2 = 0, přitom  : 2:x+y+z 4 = 0.

Výsledek: Úhel mezi přímkou a rovinou je roven přibližně 24.

Příklad 5.26: Najděte rovinu

, která je kolmá k rovině 1 a prochází prů-

sečnicí rovin

1; 2, jestliže rovina 1 obsahuje souřadné osy y; z a rovina 2 má

parametrický tvar

x = 2 s; y = 1 t; z = 1 2:s.

Výsledek:

 : z + 3 = 0.

Příklad 5.27: Najděte obecnou rovnici roviny

, která prochází bodem A =

[ 3

; 0; 2] a přímkou p : x + 2:y + z 8 = 0; 2:x 11:y z + 11 = 0.