M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

umět˚

u spočítat.

Omezíme se přitom na kolmé promítání.

Pr˚

umět

P0 = [x0; y0; z0] bodu P na přímku q, která je dána bodem Q = [x; y; z]

a směrovým vektorem

~s, určíme jako pr˚unik přímky q s rovinou , která prochází

5. Úlohy o rovinách a přímkách

45

bodem

P a je kolmá k přímce q. Normálovým vektorem roviny  je tedy směrový

vektor přímky

q, pak P0 = q \ .

Pr˚

umět

P0 = [x0; y0; z0] bodu P do roviny  určíme jako pr˚unik zadané ro-

viny

 s přímkou q, kde q je přímka procházející bodem P a kolmá k rovině

. Směrovým vektorem přímky q je tedy normálový vektor roviny , tedy opět

P0 = q \ .

Pr˚

umět

p0 zadané přímky p do zadané roviny  m˚užeme počítat trojím zp˚u-

sobem:

a) Pro libovolně zvolené dva body

P; Q ležící na přímce p najdeme postupně

jejich pr˚

uměty

P0; Q0 do roviny , tyto body P0; Q0 pak určují přímku p0.

b) Pr˚

umět

p0 přímky p je pr˚usečnicí dvou rovin p0 = \, kde rovinu  známe

a rovina

 prochází přímkou p a kolmá k rovině .

c) Pro výpočet použijeme vlastnosti svazku rovin.

Postup a) nám dá rovnici pr˚

umětu

p0 v parametrickém tvaru, postupem b)

dostaneme přímku

p0 jako pr˚usečnici dvou obecně r˚uznoběžných rovin ;  – pak

dokážeme parametrický tvar

p0 snadno najít. K postupu c) se vrátíme podrobněji

v příkladu 5.16.

Příklad 5.17: Najděte pr˚

umět

P0 bodu P = [3; 1; 4] na přímku q, která je

zadána parametrickými rovnicemi

x = 2 + 4:t ; y = 2:t ; z = 5 t ; t 2 R :

Řešení: Rovina

 kolmá k přímce q má obecnou rovnici 4:x+2:y z+d = 0 pro

jisté

d 2 R. Z podmínky P 2  dostáváme 12 2 4+d = 0, a tedy d = 6, takže