M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

iii)

h(N) = h(M) < 3, procházejí roviny 1, 2 a 3, pokud nejsou všechny
totožné, jedinou společnou přímkou.

D˚

ukaz: K existenci jediného pr˚

usečíku v i) stačí, aby matice

M byla regulární,

tj.

h(M) = 3 (a nutně též h(N) = 3). V případě h(M) < 3 je třeba posoudit,

zda

h(N) 6= h(M) – pak totiž podle Frobeniovy věty v ii) společný bod všech tří

rovin neexistuje. Jinak má soustava 3 obecných rovnic nekonečně mnoho řešení,
což lze vyjádřit pomocí iii).

Příklad 5.12: Najděte takové číslo

 2 R, aby se roviny 1, 2 a 3 zadané

postupně rovnicemi

x 3:y + z 2 = 0 ; x y z = 0 ; x 4y + 2z +  = 0

protínaly v přímce.

Řešení: Podle předchozí věty má nastat případ iii). Zkoumejme tedy hodnosti

matic

M =

2
6

4

1

3

1

1

1

1

1

4

2

3
7

5

; N =

2
6

4

1

3

1

2

1

1

1

0

1

4

2

3
7

5

:

5. Úlohy o rovinách a přímkách

42

Z Gaussovy eliminace, která zachovává hodnost matic, dostaneme

2
6

4

1

3

1

2

1

1

1

0

1

4

2

3
7

5

2
6

4

1

3

1

2

0

2

2

2

0

1

1

 + 2

3
7

5

2
6

4

1

3

1

2

0

2

2

2

0

0

0 2

: + 6

3
7

5

:

V úvahu tedy přichází jedině případ

h(M) = h(N) = 2, kdy potřebujeme

2

: + 6 = 0, a tedy  = 3.

K obdobným výpočt˚

um lze často využít tzv. svazku rovin. Jsou-li dány dvě

r˚

uznoběžné roviny

1 a 2 postupně obecnými rovnicemi

a1:x + b1:y + c1:z + d1 = 0 ; a2:x + b2:y + c2:z + d2 = 0 ;

rozumíme svazkem rovin množinu všech rovin, které obsahují přímku

p, jež je

pr˚

usečnicí rovin

1 a 2, tato přímka se pak nazývá osou svazku. Jsou-li 1 a

2 libovolná reálná čísla, která nejsou současně rovna nule, má tedy každá rovina
svazku obecnou rovnici

1:(a1:x + b1:y + c1:z + d1) + 2:(a2:x + b2:y + c2:z + d2) = 0 :

V literatuře se často setkáváme i s obdobným pojmem svazku přímek: ten
m˚