M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

ii) r˚

uznoběžné, právě když mají společnou jedinou přímku,

iii) rovnoběžné, právě když nemají společný žádný bod (v deskriptivní geomet-

rii se v tomto případě hovoří o společné nevlastní přímce, která však nepatří
do

R3).

V případě ii) má smysl určovat (nenulový) úhel dvou rovin, v případě iii) jejich
(nenulovou) vzdálenost. Známe-li obecnou rovnice roviny

1

a1:x + b1:y + c1:z + d1 = 0

i obecnou rovnici roviny

2

a2:x + b2:y + c2:z + d2 = 0 ;

kde

a1; b1; c1; d1; a2; b2; c2; d2 jsou zadaná reálná čísla, dokážeme o vzájemné po-

loze rovin rozhodnout podle hodnosti (tj. počtu lineárně nezávislých řádk˚

u nebo

sloupc˚

u)

h(M) a h(N) matic

M =

"

a1 b1 c1

a2 b2 c2

#

; N =

"

a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

#

:

Při uvedeném označení platí následující věta.

Věta 5.1: Platí-li

i)

h(M) = h(N) = 1, jsou roviny 1; 2 totožné,

5. Úlohy o rovinách a přímkách

38

ii)

h(M) = 2, jsou roviny 1; 2 r˚uznoběžné,

iii)

h(M) = 1 a h(N) = 2, jsou roviny 1; 2 rovnoběžné.

D˚

ukaz: Podmínka

h(M) = 2 (a tedy také h(N) = 2) vyjadřuje, že normálové

vektory

~n1 = (a1; b1; c1) a ~n2 = (a2; b2; c2) nejsou kolineární, odtud plyne ii). Tyto

vektory jsou naopak kolineární v případě

h(M) = 1, takže normálové vektory

obou rovin splývají. Jsou-li však kolineární i vektory (

a1; b1; c1; d1) a (a2; b2; c2; d2)

v

R4, což odpovídá podmínce h(N) = 1, popisují obě obecné rovnice jedinou

rovinu. To v opačném případě neplatí; tak rozlišíme i) a iii).

Ke každé dvojici rovin

1 a 2 m˚užeme najít rovinu, která je k oběma rovinám

kolmá. Prohlásíme-li ji za pr˚

umětnu, zobrazí se při kolmém promítání obě roviny

do přímek, a úhel, který svírají, bude viditelný ve skutečné velikosti. Jak ukazuje
obrázek, lze tento úhel podobně jako úhel dvou přímek jednoduše určit jako úhel
vektor˚