M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

1

 x +

1

 y +

1

 z 1 :

Řešíme tedy soustavu

4

:1 + 2 = 1= ; 1 = 1= ; 1 + 32 = 1= ;

2

:1 4:2 = 1 :

Postupným dosazením za parametry

1 = 1= (z druhé rovnice) a 2 = 3=

(z první rovnice) lehce vyjde

 = 10,  = 5=4 a výsledná rovnice roviny  je

tedy tvaru

x

10

+

y

10

4

:z

5

= 1

neboli

x + y 8:z 10 = 0.

Příklad 5.15: Rovina

1 je dána obecnou rovnicí 2:x + y

3

:z + 2 = 0,

rovina

2 obecnou rovnicí 5:x + 5:y 4:z + 3 = 0, rovinami 1 a 2 je tedy určen

svazek rovin

S. Najděte 2 vzájemně kolmé roviny 1; 2 2 S tak, aby jedna z nich

procházela bodem

M = [4; 3; 1].

Řešení: Každá rovina, která patří svazku

S, má obecnou rovnici

:(2:x + y 3:z + 2) + :(5:x + 5:y 4:z + 3) = 0

pro nějaká

;  2 R, tedy po roznásobení

(2

: + 5:):x + ( + 5:):y + ( 3: 4:):z + (2: + 3:) = 0 :

Bez újmy na obecnosti m˚

užeme předpokládat

M 2 1. Tato podmínka dává

(2

: + 5):4 + ( + 5:):( 3) + ( 3: 4:):1 + (2: + 3:) = 0 ;

odtud 4

: + 4: = 0, a tedy  +  = 0, takže řešením je např.  = 1 a  = 1.

Rovina

1 má tedy obecnou rovnici 3:x + 4:y z + 1 = 0. Dále hledáme rovinu

5. Úlohy o rovinách a přímkách

44

2 kolmou na 1, což znamená, že normálové vektory obou rovin jsou navzájem
kolmé: jsou-li

~n1 a ~n2 postupně normálové vektory rovin 1 a 2, musí platit

~n1 q ~n2 = 0. Obecná rovnice roviny 2 je tedy tvaru

(2

: + 5:):x + ( + 5:):y + ( 3: 4:):z + (2:: + 3:) = 0

(nebot’ také rovina

2 má patřit svazku S) pro jistá, prozatím neznámá ;  2 R.

Přitom

0 =

~n1 q ~n2 = (2: + 5:):3 + ( + 5:):4 + ( 3: 4:):( 1) :