M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

Dále platí

k~nk =

p

1 + 1 + 1 =

p

3

;

k~uk =

q

(1 + 2

:)2 + (1 + )2 + 1 =

p

3 + 6

: + 5:2 :

Pro úhel

  vektor˚u ~u a ~n tedy

cos

  =

~u q ~n

k~uk:k~nk

=

1 + 3

:

p

5

:2 + 6: + 3:

p

3

:

S ohledem na orientaci vektor˚

u

~u a ~n smí být podle zadání bud’   = =2 =6 =

=3 nebo   =  (=2 =6) = 2:=3; v obou případech cos2   = 1=4. Dostáváme
podmínku

1

=4 =

9

:2 + 6: + 1

3

:(5:2 + 6: + 3)

neboli

21

:2 + 6: 5 = 0 ;

z této kvadratické rovnice již dostaneme dvě řešení

 =

6

p

456

42

=

3

p

114

21

:

Hodnotu parametru

 m˚užeme najít také užitím vzorce

sin

' =

j~u q ~nj

k~uk:k~nk

:

Dostáváme

1

2

= sin

6

=

j1 + 3:j

p

5

:2 + 6: + 3:

p

3

;

a umocněním levé i pravé strany rovnice vychází stejná kvadratická rovnice

21

:2 + 6: 5 = 0

jako v předchozím postupu.

5. Úlohy o rovinách a přímkách

41

g) Svazek rovin

Prozatím jsme se zabývali jen vzájemnou polohou dvojice rovin. Geometricky

zajímavá však m˚

uže být i vzájemná poloha tří rovin – připomeňme, že i souřad-

nicové roviny kartézské soustavy

x = 0, y = 0 a z = 0 (v deskriptivní geometrii

v uvedeném pořadí „nárysnaÿ, „bokorysnaÿ, „p˚

udorysnaÿ) jsou vlastně velmi

speciální trojicí vzájemně kolmých rovin. Uvažujme tedy roviny

1, 2 a 3, které

mají postupně obecné rovnice

a1:x+b1:y+c1:z+d1 = 0 ; a2:x+b2:y+c2:z+d2 = 0 ; a3:x+b3:y+c3:z+d3 = 0 :

Sestavme matice

M =

2
6

4

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

3
7

5

; N =

2
6

4

a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

3
7

5

:

Toto označení použijeme v následující větě, která obměňuje větu 5.1 pro případ
tří rovin.

Věta 5.2: Platí-li

i)

h(M) = 3, protínají se roviny 1, 2 a 3 v jediném bodě.

ii)

h(N) 6= h(M) < 3, nemají roviny 1, 2 a 3 žádný společný bod.