M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

Ověřte, že přímky

p; q jsou skutečně mimoběžné.

Řešení: Mimoběžnost přímek

p; q můžeme dokázat buď přímo vyřešením sys-

tému 3 rovnic pro 2 neznámé

s; t 2 R pro jejich průsečík, nebo užitím smíšeného

součinu. Rovnice, které určují průsečík, jsou tvaru

3 +

s = 1 + 2:t ; 1 s = 2 ; 4 + 2:s = 2 + t ;

tyto rovnice však nemají řešení a tedy průsečík neexistuje (

p \ q = ;).

Také bychom mohli vypočítat smíšený součin směrových vektorů

~u; ~v přímek s

vektorem

!

AB , kde A 2 p; B 2 q jsou libovolně zvolené body na přímkách p; q.

Tedy např. pro

A = [3; 1; 4]; B = [ 1; 2; 2] vychází

[

~u;~v;

!

AB ] =

1

1

2

2

0

1

4

3

6

= 1

6= 0 ;

5. Úlohy o rovinách a přímkách

35

odtud plyne, že vektory

~u;~v;

!

AB nejsou komplanární (neleží v jedné rovině) a

tedy

p; q jsou mimoběžné.

Příčku

r procházející bodem M dostaneme snadno z podmínky kolinearity vek-

torů

!

M ˜

P ;

!

M ˜

Q , kde ˜

P = [3+s; 1 s; 4+2:s] 2 p ; ˜

Q = [ 1+2:t; 2; 2+t] 2 q

jsou neznámé průsečíky ˜

P = p \ r; ˜

Q = q \ r. Podmínka

!

M ˜

P = k:

!

M ˜

Q ; k 2 R

je tvaru

(2 +

s ; 4 s ; 6 + 2:s) = k:( 2 + 2:t ; 1 ; t) ;

rozepsáním do souřadnic máme 3 rovnice pro 3 neznámé

k ; s ; t 2 R:

2 + 2

:s = 2:k + 2:k:t ; 4 s = k ; 6 + 2:s = k:t :

Tato soustava má jediné řešení

k = 1=2; s = 2; t = 1.

Hledaná příčka je tedy určena body průsečíků ˜

P = [1; 1; 0] (pro s = 2), ˜

Q =

[1

; 2; 1] (pro hodnotu parametru t = 1) a má parametrické rovnice např.

r : x = 1 ; y = 1 + m ; z = m ; m 2 R :