M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x1; y1; z1, x2; y2; z2, a1; b1; c1 a a2; b2; c2 jsou opět předem známé trojice reálných
čísel. Zvolme libovolné body
P = [x1; y1; z1] 2 p a Q = [x2; y2; z2] 2 p2. Dále
uvažujme vektor
~w s počátečním bodem P a koncovým bodem Q.
5. Úlohy o rovinách a přímkách
31
-
P
~u
*
~v
A
A
A
A
A
A
A
A
A
AK
~w
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Q
*
~v
p
q
A
Rovnoběžnostěn znázorněný na obrázku, který je určen vektory
~u = (a1; b1; c1),
~v = (a2; b2; c2) a ~w = (x1 x2; y1 y2; z1 z2) má objem V = j[~u;~v; ~w]j. Současně
však
V = d:A, kde d značí výšku rovnoběžnostěnu, a tedy nejkratší vzdálenost
uvažovaných mimoběžek
p a q, a A je obsahem podstavy rovnoběžnostěnu, tedy
obsahem rovnoběžníku určeného vektory
~u a ~v. Pro výpočet vzdálenosti d mi-
moběžných přímek
p a q tak dostáváme jednoduchý výsledný vzorec
d =
V
A
=
j[~u;~v; ~w]j
k~u ~vk
:
Příklad 5.4: Přímka
p je zadána parametrickými rovnicemi
x = 2 + 2:t ; y = 1 + 4:t ; z = 1 t ; t 2 R
a přímka
q parametrickými rovnicemi
x = 31 + 3:s ; y = 6 + 2:s ; z = 3 + 6:s ; s 2 R :
Určete vzdálenost přímek
p a q.
Řešení: Pro stručnost budeme d˚
usledně používat označení z předchozí úvahy.
Směrové vektory přímek
p a q jsou ~u = (2; 4; 1) a ~v = (3; 2; 6), ze zvolených
bod˚
u
P = [2; 1; 1] a Q = [ 31; 6; 3] (pro t = 0 a s = 0) dostaneme vektor
~w = (33; 5; 4). Známým zp˚usobem m˚užeme vypočítat
[
~u;~v; ~w] =
33
5
4
2
4
1
3
2
6
=
965
; V = j[~u;~v; ~w]j = 965 ;
ale také
~u ~v =
~e1 ~e2 ~e3
2
4
1
3
2
6
= (26
; 15; 8) ;
A = k~u ~vk =
p
262 + 152 + 82 =
p
965
:
5. Úlohy o rovinách a přímkách