M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

a) vzdálenost bodu od přímky,

b) vzájemnou polohu a úhel dvou přímek,

c) vzdálenost dvou rovnoběžných nebo mimoběžných přímek,

d) vzdálenost bodu od roviny,

e) vzájemnou polohu a úhel dvou rovin,

f) vzájemnou polohu a úhel přímky a roviny,

g) svazek rovin,

h) pr˚

umět bodu na přímku a do roviny, pr˚

umět přímky do roviny.

a) Vzdálenost bodu od přímky

Neleží-li daný bod

P1 na přímce p, m˚užeme určit vzdálenost bodu P1 od

přímky

p. Bodem P1 proložíme rovinu  kolmou k přímce p. Označíme-li P2

pr˚

usečík přímky

p s touto rovinou (tedy P2 = p \ ), je hledaná vzdálenost d

bodu

P1 od přímky p rovna délce vektoru s počátečním bodem P1 a koncovým

bodem

P2. Najít rovinu  je snadné, nebot’ její normálový vektor je směrovým

vektorem přímky

p. Pr˚umětna na obrázku je pro jednoduchost zvolena tak, že

obsahuje přímku

p; celá rovina  (naznačená tečkovaně) se pak promítne do jediné

přímky kolmé na

p:

p

ppp

ppp

ppp

p

pp

pp

pp

pp

pp

d

P1

P2

5. Úlohy o rovinách a přímkách

28

Příklad 5.1: Určete vzdálenost bodu

A = [2; 1; 3] od přímky p zadané

rovnicemi

x = 1 + 3:t, y = 2 + 4:t, z = 1 + 5:t pro t 2 R.

Řešení: Rovina

 procházející bodem A a současně kolmá k dané přímce p

má normálový vektor

~n = (3; 4; 5), a tedy obecnou rovnici 3:x + 4:y + 5:z + d = 0.

Z podmínky

A 2  dostaneme 6 4 + 15 + d = 0; odtud d = 17, takže rovina 

má obecnou rovnici 3

:x + 4:y + 5:z 17 = 0. Pr˚usečík B = p \  najdeme snadno

dosazením parametrické rovnice přímky

p do obecné rovnice roviny 

3

:( 1 + 3:t) + 4:( 2 + 4:t) + 5:(1 + 5:t) 17 = 0 ;

odtud dostaneme

t = 23=50. Bod B má pak souřadnice x = 1 + (3:23)=50 =