M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
dem
P = [x; y; z] s využitím smíšeného součinu trojice vektor˚u. Pro komplanární
vektory totiž platí
[
!
P0P ; ~u;~v] = 0 ;
a tedy
x x0 y y0 z z0
u1
u2
u3
v1
v2
v3
= 0
;
odtud už snadno vychází obecná rovnice zadané roviny. Přímo m˚
užeme také najít
normálový vektor
~n roviny jako vektorový součin libovolných dvou nekolineár-
ních vektor˚
u, které leží v rovině
, tedy např. ~n = ~u ~v.
Příklad 3.1: Najděte parametrickou a obecnou rovnici roviny
, která je
určena body
A = [4; 4; 4], B = [ 1; 10; 4] a C = [2; 2; 5].
Řešení: Zvolíme např. jako počáteční bod (dosud
P0) bod A = [4; 4; 4] a dále
3. Rovnice roviny
22
~u =
!
AB = ( 5; 6; 8) ; ~v =
!
AC = ( 2; 6; 1) :
Parametrický tvar rovnice roviny
je tedy
x = 4 5:s 2:t ;
y = 4 + 6:s 6:t ;
z = 4 8:s + t ;
kde
s; t 2 R. Uvažujeme-li obecný bod P roviny , vyjde obecná rovnice této
roviny snadno ze smíšeného součinu
[
!
AP ;
!
AB ;
!
AC ] = 0
neboli
x 4 y 4 z 4
5
6
8
2
6
1
= 0
:
Rozvojem uvedeného determinantu podle prvního řádku dostáváme postupně
6
8
6
1
:
(
x 4)
5
8
2
1
:
(
y 4) +
5
6
2
6
:
(
z 4) = 0 ;
(6
48)
:(x 4) ( 5 16):(y 4) + (30 + 12):(z 4) = 0 ;
42
:(x 4) + 21:(y 4) + 42:(z 4) = 0 ;
2
:(x 4) (y 4) 2:(z 4) = 0 ;
2
:x y 2:z + 4 = 0 :
Jiný postup výpočtu využívá znalosti normálového vektoru
~n =
!
AB
!
AC ;
čili po složkách
~n = (a; b; c) =
~e1 ~e2 ~e3
5
6
8
2
6
1
:
Rozvojem uvedeného determinantu podle prvního řádku vychází
6
8
6
1
:~e1
5
8
2
1
:~e2
+
5
6
2
6
:~e3
=
(6
48)
:~e1 ( 5 16):~e2 + (30 + 12):~e3 =
42
:~e1 + 21:~e2 + 42:~e3 = 21:(2:~e1 ~e2 2:~e3) ;
4. Rovnice přímky
23
je tedy možné volit