M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

[

~a;~b;~c] = ~a q (~b  ~c) = (a1; a2; a3) q

~e1 ~e2 ~e3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

;

ale také

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

=

a1:

b2 b3

c2 c3

a2:

b1 b3

c1 c3

+

a3:

b1 b2

c1 c2

=

(

a1; a2; a3) q

b2 b3

c2 c3

 ;

b1 b3

c1 c3

 ;

b1 b2

c1 c2

!

= (

a1; a2; a3) q

~e1 ~e2 ~e3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

:

Z tohoto odvození také vidíme, že výměnou dvou vektor˚

u v uspořádané tro-

jici

~a;~b;~c jejich smíšený součin skutečně vždy změní znaménko, jak ihned plyne

z vlastností determinant˚

u. Dále je zřejmé, že [

~a;~b;~c] = 0, právě když aspoň jeden

z vektor˚

u

~a;~b;~c je nulový nebo vektory ~a;~b;~c jsou lineárně závislé, a tedy kom-

planární (lze je umístit v jediné rovině). V následující větě se zaměříme na již
zmiňované (ale zatím nedokázané) tvrzení o geometrickém významu smíšeného
součinu:

Věta 2.1: Umístíme-li tři lineárně nezávislé vektory

~a;~b;~c v R3 do společného

bodu

M a sestrojíme-li rovnoběžnostěn s hranami ~a;~b;~c (podle obrázku), platí

pro objem

V takového rovnoběžnostěnu

V = j[~a;~b;~c]j :

M

'

-

~a

3

~b

~c

p p

p p

p p

p p

p p

p

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

6

~n

hppp

pp

p p p p p p p p p p p

p

D˚

ukaz: Uvažujme jednotkový vektor

~n kolmý na vektory ~a a ~b. Zřejmě je

~n =

~a ~b

k~a ~bk

:

Výška

h rovnoběžnostěnu je rovna délce pr˚umětu vektoru ~c do směru ~n. Svírají-li

vektory

~c a ~n úhel ', platí tedy

j~c q ~nj = k~ck:k~nk:j cos 'j = k~ck:j cos 'j = k~ck 

h

k~ck

=

h ;

2. Smíšený součin vektorů a jeho vlastnosti

17

z čehož dostaneme

h = j~c q ~nj :

Protože obsah základny rovnoběžnostěnu určené vektory

~a;~b je roven k~a  ~bk,

vychází

V = h:k~a ~bk = j~c q ~nj:k~a ~bk = j~c q