M03 - Vektorová algebra a analytická geometrie

Řešení: Zřejmě je

k~vk = k3:~a  ~a 12:~a ~b 2:~b  ~a + 8:~b ~bk :

Protože však

~a  ~a i ~b ~b musí být nulové vektory a navíc ~a ~b = ~b  ~a, takže

12

:~a ~b 2:~b  ~a = 10:~a ~b, dostáváme

k~vk = 10:k~a ~bk = 10:k~ak:k~bk: sin ' = 10:1:3:1=2 = 15 :

Příklad 1.5: S využitím vektorového součinu vypočítejte obsah

P rovnoběž-

1. Vektorový a dvojný vektorový součin vektorů a jejich vlastnosti

12

níka

ABCD, jsou-li dány jeho úhlopříčky

!

AC = 2:~a ~b a

!

DB = 4:~a 5:~b, kde

~a;~b;~c jsou nekomplanární jednotkové vektory, které svírají úhel =4.

Řešení: M˚

užeme použít přímý výpočet

P = k

!

AB 

!

AD k = k((

!

AC +

!

DB )=2)  ((

!

AC

!

DB )=2)k =

k(

!

AC +

!

DB )  (

!

AC

!

DB )k=4 = k(6:~a 6:~b)  ( 2:~a + 4:~b)k=4 =

6

:2

4

 k(~a ~b)  (~a 2:~b)k = 3:k~a  ~a 2:~a ~b ~b  ~a + 2:~b ~bk =

3

:k ~a ~bk = 3:k~a ~bk = 3:k~ak:k~bk sin(=4) = 3:1:1:1=

p

2 = 3

=

p

2

:

Kratší je však výpočet využívající vztahu mezi stranami a úhlopříčkami rovno-
běžníku

ABCD

P = k

!

AC 

!

DB k=2 = k(2:~a ~b)  (4:~a 5:~b)k=2 =

k8:~a  ~a 10:~a ~b 4:~b  ~a + 5:~b ~bk=2 = k 6:~a ~bk=2 =
6

=2:k~a ~bk = 3:k~ak:k~bk sin(=4) = 3:1:1:1=

p

2 = 3

=

p

2

:

Víme už, že vektorový součin nesplňuje asociativní zákon, tedy že vektory

~a  (~b  ~c) a (~a  ~b)  ~c jsou r˚uzné. Pro libovolné vektory ~a;~b;~c 2 R3 (dále

budeme pracovat i s libovolným vektorem ~

d 2 R3) však platí

~a  (~b  ~c) = ~b:(~a q~c) ~c:(~a q~b)

(

~a q~c i ~a q~b v tomto vztahu jsou pouhá reálná čísla). Výraz ~a(~b~c) na levé straně

rovnice nazýváme dvojným vektorovým součinem vektor˚

u

~a;~b;~c (v tomto

pořadí); tedy dvojným vektorovým součinem vektor˚